Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59080 / 89451
↖ ↑ ↗
← S 54.742064°
W 17.731933°		 ← 176.27 m → S 54.742064°
W 17.729187°		 →
↑
176.29 m
↓
↑
176.29 m
↓
S 54.743650°
W 17.731933°		 ← 176.27 m →
31 074 m²		 S 54.743650°
W 17.729187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450748443603516 y=0.682460784912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450748443603516 × 217)
    floor (0.450748443603516 × 131072)
    floor (59080.5)     		tx = 59080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682460784912109 × 217)
    floor (0.682460784912109 × 131072)
    floor (89451.5)     		ty = 89451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59080 / 89451 ti = "17/59080/89451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59080/89451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59080 ÷ 217
    59080 ÷ 131072     		x = 0.45074462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89451 ÷ 217
    89451 ÷ 131072     		y = 0.682456970214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45074462890625 × 2 - 1) × π
    -0.0985107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30948062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682456970214844 × 2 - 1) × π
    -0.364913940429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.14641095441364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30948062} λ = -0.30948062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14641095441364))-π/2
    2×atan(0.317775234959033)-π/2
    2×0.30768353263553-π/2
    0.61536706527106-1.57079632675     		φ = -0.95542926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30948062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.731933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95542926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.742064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59080 KachelY 89451 -0.30948062 -0.95542926 -17.731933 -54.742064
    Oben rechts KachelX + 1 59081 KachelY 89451 -0.30943269 -0.95542926 -17.729187 -54.742064
    Unten links KachelX 59080 KachelY + 1 89452 -0.30948062 -0.95545693 -17.731933 -54.743650
    Unten rechts KachelX + 1 59081 KachelY + 1 89452 -0.30943269 -0.95545693 -17.729187 -54.743650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95542926--0.95545693) × R
    2.76700000000352e-05 × 6371000     		dl = 176.285570000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95542926--0.95545693) × R
    2.76700000000352e-05 × 6371000     		dr = 176.285570000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30948062--0.30943269) × cos(-0.95542926) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.577258293820847 × 6371000     		do = 176.272764435374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30948062--0.30943269) × cos(-0.95545693) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.577235699340131 × 6371000     		du = 176.265864938876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95542926)-sin(-0.95545693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577258293820847-0.577235699340131)×R²
    abs(-0.30943269--0.30948062)×2.25944807166201e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.25944807166201e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.25944807166201e-05×40589641000000     		ar = 31073.7366151827m²