Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59019 / 89759
↖ ↑ ↗
← S 55.227457°
W 17.899475°		 ← 174.15 m → S 55.227457°
W 17.896729°		 →
↑
174.12 m
↓
↑
174.12 m
↓
S 55.229023°
W 17.899475°		 ← 174.15 m →
30 323 m²		 S 55.229023°
W 17.896729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450283050537109 y=0.684810638427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450283050537109 × 217)
    floor (0.450283050537109 × 131072)
    floor (59019.5)     		tx = 59019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684810638427734 × 217)
    floor (0.684810638427734 × 131072)
    floor (89759.5)     		ty = 89759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59019 / 89759 ti = "17/59019/89759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59019/89759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59019 ÷ 217
    59019 ÷ 131072     		x = 0.450279235839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89759 ÷ 217
    89759 ÷ 131072     		y = 0.684806823730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450279235839844 × 2 - 1) × π
    -0.0994415283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31240477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684806823730469 × 2 - 1) × π
    -0.369613647460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.16117551949662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31240477} λ = -0.31240477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16117551949662))-π/2
    2×atan(0.313117888275037)-π/2
    2×0.303447685318276-π/2
    0.606895370636552-1.57079632675     		φ = -0.96390096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31240477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.899475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96390096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.227457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59019 KachelY 89759 -0.31240477 -0.96390096 -17.899475 -55.227457
    Oben rechts KachelX + 1 59020 KachelY 89759 -0.31235684 -0.96390096 -17.896729 -55.227457
    Unten links KachelX 59019 KachelY + 1 89760 -0.31240477 -0.96392829 -17.899475 -55.229023
    Unten rechts KachelX + 1 59020 KachelY + 1 89760 -0.31235684 -0.96392829 -17.896729 -55.229023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96390096--0.96392829) × R
    2.73299999999921e-05 × 6371000     		dl = 174.11942999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96390096--0.96392829) × R
    2.73299999999921e-05 × 6371000     		dr = 174.11942999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31240477--0.31235684) × cos(-0.96390096) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.570319996875607 × 6371000     		do = 174.154071995434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31240477--0.31235684) × cos(-0.96392829) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.570297547182735 × 6371000     		du = 174.147216711646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96390096)-sin(-0.96392829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570319996875607-0.570297547182735)×R²
    abs(-0.31235684--0.31240477)×2.24496928719065e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.24496928719065e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.24496928719065e-05×40589641000000     		ar = 30323.0109309297m²