Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59017 / 89720
↖ ↑ ↗
← S 55.166319°
W 17.904968°		 ← 174.46 m → S 55.166319°
W 17.902222°		 →
↑
174.44 m
↓
↑
174.44 m
↓
S 55.167888°
W 17.904968°		 ← 174.45 m →
30 432 m²		 S 55.167888°
W 17.902222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450267791748047 y=0.684513092041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450267791748047 × 217)
    floor (0.450267791748047 × 131072)
    floor (59017.5)     		tx = 59017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684513092041016 × 217)
    floor (0.684513092041016 × 131072)
    floor (89720.5)     		ty = 89720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59017 / 89720 ti = "17/59017/89720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59017/89720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59017 ÷ 217
    59017 ÷ 131072     		x = 0.450263977050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89720 ÷ 217
    89720 ÷ 131072     		y = 0.68450927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450263977050781 × 2 - 1) × π
    -0.0994720458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31250065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68450927734375 × 2 - 1) × π
    -0.3690185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.15930598041144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31250065} λ = -0.31250065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15930598041144))-π/2
    2×atan(0.313703821947727)-π/2
    2×0.303981212541842-π/2
    0.607962425083684-1.57079632675     		φ = -0.96283390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31250065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.904968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96283390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.166319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59017 KachelY 89720 -0.31250065 -0.96283390 -17.904968 -55.166319
    Oben rechts KachelX + 1 59018 KachelY 89720 -0.31245271 -0.96283390 -17.902222 -55.166319
    Unten links KachelX 59017 KachelY + 1 89721 -0.31250065 -0.96286128 -17.904968 -55.167888
    Unten rechts KachelX + 1 59018 KachelY + 1 89721 -0.31245271 -0.96286128 -17.902222 -55.167888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96283390--0.96286128) × R
    2.73800000000213e-05 × 6371000     		dl = 174.437980000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96283390--0.96286128) × R
    2.73800000000213e-05 × 6371000     		dr = 174.437980000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31250065--0.31245271) × cos(-0.96283390) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.571196179229511 × 6371000     		do = 174.458015726232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31250065--0.31245271) × cos(-0.96286128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.571173705139729 × 6371000     		du = 174.451151560729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96283390)-sin(-0.96286128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571196179229511-0.571173705139729)×R²
    abs(-0.31245271--0.31250065)×2.24740897822873e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24740897822873e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24740897822873e-05×40589641000000     		ar = 30431.5051745063m²