Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59016 / 89721
↖ ↑ ↗
← S 55.167888°
W 17.907715°		 ← 174.45 m → S 55.167888°
W 17.904968°		 →
↑
174.44 m
↓
↑
174.44 m
↓
S 55.169456°
W 17.907715°		 ← 174.44 m →
30 430 m²		 S 55.169456°
W 17.904968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450260162353516 y=0.684520721435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450260162353516 × 217)
    floor (0.450260162353516 × 131072)
    floor (59016.5)     		tx = 59016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684520721435547 × 217)
    floor (0.684520721435547 × 131072)
    floor (89721.5)     		ty = 89721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59016 / 89721 ti = "17/59016/89721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59016/89721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59016 ÷ 217
    59016 ÷ 131072     		x = 0.45025634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89721 ÷ 217
    89721 ÷ 131072     		y = 0.684516906738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45025634765625 × 2 - 1) × π
    -0.0994873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31254859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684516906738281 × 2 - 1) × π
    -0.369033813476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.15935391731106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31254859} λ = -0.31254859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15935391731106))-π/2
    2×atan(0.313688784319535)-π/2
    2×0.303967522124266-π/2
    0.607935044248531-1.57079632675     		φ = -0.96286128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31254859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.907715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96286128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.167888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59016 KachelY 89721 -0.31254859 -0.96286128 -17.907715 -55.167888
    Oben rechts KachelX + 1 59017 KachelY 89721 -0.31250065 -0.96286128 -17.904968 -55.167888
    Unten links KachelX 59016 KachelY + 1 89722 -0.31254859 -0.96288866 -17.907715 -55.169456
    Unten rechts KachelX + 1 59017 KachelY + 1 89722 -0.31250065 -0.96288866 -17.904968 -55.169456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96286128--0.96288866) × R
    2.73799999999103e-05 × 6371000     		dl = 174.437979999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96286128--0.96288866) × R
    2.73799999999103e-05 × 6371000     		dr = 174.437979999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31254859--0.31250065) × cos(-0.96286128) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.571173705139729 × 6371000     		do = 174.451151560931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31254859--0.31250065) × cos(-0.96288866) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.571151230621758 × 6371000     		du = 174.444287264649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96286128)-sin(-0.96288866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571173705139729-0.571151230621758)×R²
    abs(-0.31250065--0.31254859)×2.24745179707719e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24745179707719e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24745179707719e-05×40589641000000     		ar = 30430.3077917537m²