Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59015 / 89223
↖ ↑ ↗
← S 54.378958°
W 17.910461°		 ← 177.85 m → S 54.378958°
W 17.907715°		 →
↑
177.88 m
↓
↑
177.88 m
↓
S 54.380558°
W 17.910461°		 ← 177.84 m →
31 635 m²		 S 54.380558°
W 17.907715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450252532958984 y=0.680721282958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450252532958984 × 217)
    floor (0.450252532958984 × 131072)
    floor (59015.5)     		tx = 59015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680721282958984 × 217)
    floor (0.680721282958984 × 131072)
    floor (89223.5)     		ty = 89223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59015 / 89223 ti = "17/59015/89223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59015/89223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59015 ÷ 217
    59015 ÷ 131072     		x = 0.450248718261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89223 ÷ 217
    89223 ÷ 131072     		y = 0.680717468261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450248718261719 × 2 - 1) × π
    -0.0995025634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31259652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680717468261719 × 2 - 1) × π
    -0.361434936523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.13548134130027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31259652} λ = -0.31259652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13548134130027))-π/2
    2×atan(0.321267444821656)-π/2
    2×0.310852235300416-π/2
    0.621704470600832-1.57079632675     		φ = -0.94909186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31259652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.910461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94909186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.378958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59015 KachelY 89223 -0.31259652 -0.94909186 -17.910461 -54.378958
    Oben rechts KachelX + 1 59016 KachelY 89223 -0.31254859 -0.94909186 -17.907715 -54.378958
    Unten links KachelX 59015 KachelY + 1 89224 -0.31259652 -0.94911978 -17.910461 -54.380558
    Unten rechts KachelX + 1 59016 KachelY + 1 89224 -0.31254859 -0.94911978 -17.907715 -54.380558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94909186--0.94911978) × R
    2.79199999999591e-05 × 6371000     		dl = 177.878319999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94909186--0.94911978) × R
    2.79199999999591e-05 × 6371000     		dr = 177.878319999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31259652--0.31254859) × cos(-0.94909186) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.582421544656551 × 6371000     		do = 177.849425191963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31259652--0.31254859) × cos(-0.94911978) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.582398848626748 × 6371000     		du = 177.842494686229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94909186)-sin(-0.94911978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582421544656551-0.582398848626748)×R²
    abs(-0.31254859--0.31259652)×2.26960298033152e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.26960298033152e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.26960298033152e-05×40589641000000     		ar = 31634.9405747178m²