Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59014 / 88962
↖ ↑ ↗
← S 53.959317°
W 17.913208°		 ← 179.70 m → S 53.959317°
W 17.910461°		 →
↑
179.73 m
↓
↑
179.73 m
↓
S 53.960934°
W 17.913208°		 ← 179.69 m →
32 296 m²		 S 53.960934°
W 17.910461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450244903564453 y=0.678730010986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450244903564453 × 217)
    floor (0.450244903564453 × 131072)
    floor (59014.5)     		tx = 59014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678730010986328 × 217)
    floor (0.678730010986328 × 131072)
    floor (88962.5)     		ty = 88962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59014 / 88962 ti = "17/59014/88962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59014/88962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59014 ÷ 217
    59014 ÷ 131072     		x = 0.450241088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88962 ÷ 217
    88962 ÷ 131072     		y = 0.678726196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450241088867188 × 2 - 1) × π
    -0.099517822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31264446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678726196289062 × 2 - 1) × π
    -0.357452392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12296981049944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31264446} λ = -0.31264446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12296981049944))-π/2
    2×atan(0.325312242896984)-π/2
    2×0.314514286179728-π/2
    0.629028572359457-1.57079632675     		φ = -0.94176775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31264446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.913208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94176775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.959317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59014 KachelY 88962 -0.31264446 -0.94176775 -17.913208 -53.959317
    Oben rechts KachelX + 1 59015 KachelY 88962 -0.31259652 -0.94176775 -17.910461 -53.959317
    Unten links KachelX 59014 KachelY + 1 88963 -0.31264446 -0.94179596 -17.913208 -53.960934
    Unten rechts KachelX + 1 59015 KachelY + 1 88963 -0.31259652 -0.94179596 -17.910461 -53.960934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94176775--0.94179596) × R
    2.8209999999973e-05 × 6371000     		dl = 179.725909999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94176775--0.94179596) × R
    2.8209999999973e-05 × 6371000     		dr = 179.725909999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31264446--0.31259652) × cos(-0.94176775) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.58835954341674 × 6371000     		do = 179.70014893421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31264446--0.31259652) × cos(-0.94179596) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.588336732592548 × 6371000     		du = 179.693181921351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94176775)-sin(-0.94179596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58835954341674-0.588336732592548)×R²
    abs(-0.31259652--0.31264446)×2.28108241919767e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28108241919767e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28108241919767e-05×40589641000000     		ar = 32296.1467201948m²