Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59000 / 89637
↖ ↑ ↗
← S 55.035892°
W 17.951660°		 ← 175.03 m → S 55.035892°
W 17.948914°		 →
↑
175.01 m
↓
↑
175.01 m
↓
S 55.037466°
W 17.951660°		 ← 175.02 m →
30 631 m²		 S 55.037466°
W 17.948914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450138092041016 y=0.683879852294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450138092041016 × 217)
    floor (0.450138092041016 × 131072)
    floor (59000.5)     		tx = 59000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683879852294922 × 217)
    floor (0.683879852294922 × 131072)
    floor (89637.5)     		ty = 89637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59000 / 89637 ti = "17/59000/89637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59000/89637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59000 ÷ 217
    59000 ÷ 131072     		x = 0.45013427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89637 ÷ 217
    89637 ÷ 131072     		y = 0.683876037597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45013427734375 × 2 - 1) × π
    -0.0997314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31331558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683876037597656 × 2 - 1) × π
    -0.367752075195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.15532721774297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31331558} λ = -0.31331558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15532721774297))-π/2
    2×atan(0.314954461352275)-π/2
    2×0.305119396116711-π/2
    0.610238792233422-1.57079632675     		φ = -0.96055753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31331558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.951660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96055753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.035892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59000 KachelY 89637 -0.31331558 -0.96055753 -17.951660 -55.035892
    Oben rechts KachelX + 1 59001 KachelY 89637 -0.31326764 -0.96055753 -17.948914 -55.035892
    Unten links KachelX 59000 KachelY + 1 89638 -0.31331558 -0.96058500 -17.951660 -55.037466
    Unten rechts KachelX + 1 59001 KachelY + 1 89638 -0.31326764 -0.96058500 -17.948914 -55.037466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96055753--0.96058500) × R
    2.74700000000294e-05 × 6371000     		dl = 175.011370000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96055753--0.96058500) × R
    2.74700000000294e-05 × 6371000     		dr = 175.011370000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31331558--0.31326764) × cos(-0.96055753) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.573063173084655 × 6371000     		do = 175.028243706014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31331558--0.31326764) × cos(-0.96058500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.573040660895899 × 6371000     		du = 175.021367904104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96055753)-sin(-0.96058500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573063173084655-0.573040660895899)×R²
    abs(-0.31326764--0.31331558)×2.25121887562629e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25121887562629e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25121887562629e-05×40589641000000     		ar = 30631.3310500476m²