Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58990 / 86913
↖ ↑ ↗
← S 50.515173°
W 17.979126°		 ← 194.17 m → S 50.515173°
W 17.976380°		 →
↑
194.19 m
↓
↑
194.19 m
↓
S 50.516919°
W 17.979126°		 ← 194.16 m →
37 705 m²		 S 50.516919°
W 17.976380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450061798095703 y=0.663097381591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450061798095703 × 217)
    floor (0.450061798095703 × 131072)
    floor (58990.5)     		tx = 58990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663097381591797 × 217)
    floor (0.663097381591797 × 131072)
    floor (86913.5)     		ty = 86913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58990 / 86913 ti = "17/58990/86913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58990/86913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58990 ÷ 217
    58990 ÷ 131072     		x = 0.450057983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86913 ÷ 217
    86913 ÷ 131072     		y = 0.663093566894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450057983398438 × 2 - 1) × π
    -0.099884033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31379494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663093566894531 × 2 - 1) × π
    -0.326187133789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.02474710317794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31379494} λ = -0.31379494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02474710317794))-π/2
    2×atan(0.358887215366524)-π/2
    2×0.344570117539767-π/2
    0.689140235079535-1.57079632675     		φ = -0.88165609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31379494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.979126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88165609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.515173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58990 KachelY 86913 -0.31379494 -0.88165609 -17.979126 -50.515173
    Oben rechts KachelX + 1 58991 KachelY 86913 -0.31374701 -0.88165609 -17.976380 -50.515173
    Unten links KachelX 58990 KachelY + 1 86914 -0.31379494 -0.88168657 -17.979126 -50.516919
    Unten rechts KachelX + 1 58991 KachelY + 1 86914 -0.31374701 -0.88168657 -17.976380 -50.516919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88165609--0.88168657) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dl = 194.188079999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88165609--0.88168657) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dr = 194.188079999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31379494--0.31374701) × cos(-0.88165609) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.635873858096056 × 6371000     		do = 194.171732132262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31379494--0.31374701) × cos(-0.88168657) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.635850333550012 × 6371000     		du = 194.164548629128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88165609)-sin(-0.88168657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635873858096056-0.635850333550012)×R²
    abs(-0.31374701--0.31379494)×2.35245460438183e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35245460438183e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35245460438183e-05×40589641000000     		ar = 37705.1383804291m²