Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58986 / 89219
↖ ↑ ↗
← S 54.372559°
W 17.990112°		 ← 177.88 m → S 54.372559°
W 17.987366°		 →
↑
177.88 m
↓
↑
177.88 m
↓
S 54.374158°
W 17.990112°		 ← 177.87 m →
31 640 m²		 S 54.374158°
W 17.987366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450031280517578 y=0.680690765380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450031280517578 × 217)
    floor (0.450031280517578 × 131072)
    floor (58986.5)     		tx = 58986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680690765380859 × 217)
    floor (0.680690765380859 × 131072)
    floor (89219.5)     		ty = 89219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58986 / 89219 ti = "17/58986/89219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58986/89219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58986 ÷ 217
    58986 ÷ 131072     		x = 0.450027465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89219 ÷ 217
    89219 ÷ 131072     		y = 0.680686950683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450027465820312 × 2 - 1) × π
    -0.099945068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31398669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680686950683594 × 2 - 1) × π
    -0.361373901367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.13528959370179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31398669} λ = -0.31398669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13528959370179))-π/2
    2×atan(0.321329052989091)-π/2
    2×0.310908078618853-π/2
    0.621816157237706-1.57079632675     		φ = -0.94898017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31398669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.990112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94898017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.372559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58986 KachelY 89219 -0.31398669 -0.94898017 -17.990112 -54.372559
    Oben rechts KachelX + 1 58987 KachelY 89219 -0.31393876 -0.94898017 -17.987366 -54.372559
    Unten links KachelX 58986 KachelY + 1 89220 -0.31398669 -0.94900809 -17.990112 -54.374158
    Unten rechts KachelX + 1 58987 KachelY + 1 89220 -0.31393876 -0.94900809 -17.987366 -54.374158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94898017--0.94900809) × R
    2.79199999999591e-05 × 6371000     		dl = 177.878319999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94898017--0.94900809) × R
    2.79199999999591e-05 × 6371000     		dr = 177.878319999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31398669--0.31393876) × cos(-0.94898017) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.582512332363676 × 6371000     		do = 177.877148310716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31398669--0.31393876) × cos(-0.94900809) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.582489638150194 × 6371000     		du = 177.870218359617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94898017)-sin(-0.94900809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582512332363676-0.582489638150194)×R²
    abs(-0.31393876--0.31398669)×2.26942134825547e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26942134825547e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26942134825547e-05×40589641000000     		ar = 31639.8719658246m²