Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58983 / 89259
↖ ↑ ↗
← S 54.436505°
W 17.998352°		 ← 177.60 m → S 54.436505°
W 17.995606°		 →
↑
177.62 m
↓
↑
177.62 m
↓
S 54.438103°
W 17.998352°		 ← 177.59 m →
31 545 m²		 S 54.438103°
W 17.995606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450008392333984 y=0.680995941162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450008392333984 × 217)
    floor (0.450008392333984 × 131072)
    floor (58983.5)     		tx = 58983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680995941162109 × 217)
    floor (0.680995941162109 × 131072)
    floor (89259.5)     		ty = 89259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58983 / 89259 ti = "17/58983/89259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58983/89259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58983 ÷ 217
    58983 ÷ 131072     		x = 0.450004577636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89259 ÷ 217
    89259 ÷ 131072     		y = 0.680992126464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450004577636719 × 2 - 1) × π
    -0.0999908447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31413050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680992126464844 × 2 - 1) × π
    -0.361984252929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.13720706968659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31413050} λ = -0.31413050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13720706968659))-π/2
    2×atan(0.320713502586922)-π/2
    2×0.310350037015828-π/2
    0.620700074031655-1.57079632675     		φ = -0.95009625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31413050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.998352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95009625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.436505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58983 KachelY 89259 -0.31413050 -0.95009625 -17.998352 -54.436505
    Oben rechts KachelX + 1 58984 KachelY 89259 -0.31408257 -0.95009625 -17.995606 -54.436505
    Unten links KachelX 58983 KachelY + 1 89260 -0.31413050 -0.95012413 -17.998352 -54.438103
    Unten rechts KachelX + 1 58984 KachelY + 1 89260 -0.31408257 -0.95012413 -17.995606 -54.438103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95009625--0.95012413) × R
    2.78799999999801e-05 × 6371000     		dl = 177.623479999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95009625--0.95012413) × R
    2.78799999999801e-05 × 6371000     		dr = 177.623479999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31413050--0.31408257) × cos(-0.95009625) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.581604795527294 × 6371000     		do = 177.600021019852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31413050--0.31408257) × cos(-0.95012413) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.581582115716172 × 6371000     		du = 177.593095466688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95009625)-sin(-0.95012413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581604795527294-0.581582115716172)×R²
    abs(-0.31408257--0.31413050)×2.26798111220283e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.26798111220283e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.26798111220283e-05×40589641000000     		ar = 31545.3187132943m²