Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58982 / 89253
↖ ↑ ↗
← S 54.426920°
W 18.001099°		 ← 177.68 m → S 54.426920°
W 17.998352°		 →
↑
177.69 m
↓
↑
177.69 m
↓
S 54.428518°
W 18.001099°		 ← 177.67 m →
31 571 m²		 S 54.428518°
W 17.998352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450000762939453 y=0.680950164794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450000762939453 × 217)
    floor (0.450000762939453 × 131072)
    floor (58982.5)     		tx = 58982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680950164794922 × 217)
    floor (0.680950164794922 × 131072)
    floor (89253.5)     		ty = 89253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58982 / 89253 ti = "17/58982/89253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58982/89253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58982 ÷ 217
    58982 ÷ 131072     		x = 0.449996948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89253 ÷ 217
    89253 ÷ 131072     		y = 0.680946350097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449996948242188 × 2 - 1) × π
    -0.100006103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31417844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680946350097656 × 2 - 1) × π
    -0.361892700195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.13691944828887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31417844} λ = -0.31417844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13691944828887))-π/2
    2×atan(0.320805759919759)-π/2
    2×0.3104336877928-π/2
    0.620867375585599-1.57079632675     		φ = -0.94992895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31417844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.001099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94992895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.426920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58982 KachelY 89253 -0.31417844 -0.94992895 -18.001099 -54.426920
    Oben rechts KachelX + 1 58983 KachelY 89253 -0.31413050 -0.94992895 -17.998352 -54.426920
    Unten links KachelX 58982 KachelY + 1 89254 -0.31417844 -0.94995684 -18.001099 -54.428518
    Unten rechts KachelX + 1 58983 KachelY + 1 89254 -0.31413050 -0.94995684 -17.998352 -54.428518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94992895--0.94995684) × R
    2.78900000000304e-05 × 6371000     		dl = 177.687190000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94992895--0.94995684) × R
    2.78900000000304e-05 × 6371000     		dr = 177.687190000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31417844--0.31413050) × cos(-0.94992895) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.581740881167252 × 6371000     		do = 177.678639118849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31417844--0.31413050) × cos(-0.94995684) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.581718195935284 × 6371000     		du = 177.671710465088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94992895)-sin(-0.94995684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581740881167252-0.581718195935284)×R²
    abs(-0.31413050--0.31417844)×2.26852319683557e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26852319683557e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26852319683557e-05×40589641000000     		ar = 31570.602543591m²