Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58981 / 89251
↖ ↑ ↗
← S 54.423724°
W 18.003845°		 ← 177.69 m → S 54.423724°
W 18.001099°		 →
↑
177.62 m
↓
↑
177.62 m
↓
S 54.425322°
W 18.003845°		 ← 177.69 m →
31 562 m²		 S 54.425322°
W 18.001099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449993133544922 y=0.680934906005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449993133544922 × 217)
    floor (0.449993133544922 × 131072)
    floor (58981.5)     		tx = 58981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680934906005859 × 217)
    floor (0.680934906005859 × 131072)
    floor (89251.5)     		ty = 89251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58981 / 89251 ti = "17/58981/89251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58981/89251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58981 ÷ 217
    58981 ÷ 131072     		x = 0.449989318847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89251 ÷ 217
    89251 ÷ 131072     		y = 0.680931091308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449989318847656 × 2 - 1) × π
    -0.100021362304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.31422638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680931091308594 × 2 - 1) × π
    -0.361862182617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.13682357448963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31422638} λ = -0.31422638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13682357448963))-π/2
    2×atan(0.320836518261217)-π/2
    2×0.310461575734318-π/2
    0.620923151468636-1.57079632675     		φ = -0.94987318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31422638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.003845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94987318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.423724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58981 KachelY 89251 -0.31422638 -0.94987318 -18.003845 -54.423724
    Oben rechts KachelX + 1 58982 KachelY 89251 -0.31417844 -0.94987318 -18.001099 -54.423724
    Unten links KachelX 58981 KachelY + 1 89252 -0.31422638 -0.94990106 -18.003845 -54.425322
    Unten rechts KachelX + 1 58982 KachelY + 1 89252 -0.31417844 -0.94990106 -18.001099 -54.425322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94987318--0.94990106) × R
    2.78799999999801e-05 × 6371000     		dl = 177.623479999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94987318--0.94990106) × R
    2.78799999999801e-05 × 6371000     		dr = 177.623479999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31422638--0.31417844) × cos(-0.94987318) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.581786242140229 × 6371000     		do = 177.692493527588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31422638--0.31417844) × cos(-0.94990106) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.581763565946712 × 6371000     		du = 177.685567634403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94987318)-sin(-0.94990106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581786242140229-0.581763565946712)×R²
    abs(-0.31417844--0.31422638)×2.26761935167019e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26761935167019e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26761935167019e-05×40589641000000     		ar = 31561.7439716296m²