Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58979 / 89356
↖ ↑ ↗
← S 54.591163°
W 18.009338°		 ← 176.97 m → S 54.591163°
W 18.006592°		 →
↑
176.99 m
↓
↑
176.99 m
↓
S 54.592754°
W 18.009338°		 ← 176.96 m →
31 320 m²		 S 54.592754°
W 18.006592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449977874755859 y=0.681735992431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449977874755859 × 217)
    floor (0.449977874755859 × 131072)
    floor (58979.5)     		tx = 58979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681735992431641 × 217)
    floor (0.681735992431641 × 131072)
    floor (89356.5)     		ty = 89356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58979 / 89356 ti = "17/58979/89356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58979/89356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58979 ÷ 217
    58979 ÷ 131072     		x = 0.449974060058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89356 ÷ 217
    89356 ÷ 131072     		y = 0.681732177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449974060058594 × 2 - 1) × π
    -0.100051879882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.31432225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681732177734375 × 2 - 1) × π
    -0.36346435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.14185694894974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31432225} λ = -0.31432225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14185694894974))-π/2
    2×atan(0.319225685287956)-π/2
    2×0.309000396771743-π/2
    0.618000793543486-1.57079632675     		φ = -0.95279553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31432225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.009338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95279553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.591163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58979 KachelY 89356 -0.31432225 -0.95279553 -18.009338 -54.591163
    Oben rechts KachelX + 1 58980 KachelY 89356 -0.31427431 -0.95279553 -18.006592 -54.591163
    Unten links KachelX 58979 KachelY + 1 89357 -0.31432225 -0.95282331 -18.009338 -54.592754
    Unten rechts KachelX + 1 58980 KachelY + 1 89357 -0.31427431 -0.95282331 -18.006592 -54.592754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95279553--0.95282331) × R
    2.77800000000328e-05 × 6371000     		dl = 176.986380000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95279553--0.95282331) × R
    2.77800000000328e-05 × 6371000     		dr = 176.986380000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31432225--0.31427431) × cos(-0.95279553) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.579406892057868 × 6371000     		do = 176.965778767963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31432225--0.31427431) × cos(-0.95282331) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.579384250066525 × 6371000     		du = 176.958863321002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95279553)-sin(-0.95282331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579406892057868-0.579384250066525)×R²
    abs(-0.31427431--0.31432225)×2.26419913433862e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26419913433862e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26419913433862e-05×40589641000000     		ar = 31319.9206001965m²