Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58978 / 88858
↖ ↑ ↗
← S 53.790917°
W 18.012085°		 ← 180.43 m → S 53.790917°
W 18.009338°		 →
↑
180.43 m
↓
↑
180.43 m
↓
S 53.792540°
W 18.012085°		 ← 180.42 m →
32 553 m²		 S 53.792540°
W 18.009338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449970245361328 y=0.677936553955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449970245361328 × 217)
    floor (0.449970245361328 × 131072)
    floor (58978.5)     		tx = 58978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677936553955078 × 217)
    floor (0.677936553955078 × 131072)
    floor (88858.5)     		ty = 88858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58978 / 88858 ti = "17/58978/88858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58978/88858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58978 ÷ 217
    58978 ÷ 131072     		x = 0.449966430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88858 ÷ 217
    88858 ÷ 131072     		y = 0.677932739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449966430664062 × 2 - 1) × π
    -0.100067138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31437019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677932739257812 × 2 - 1) × π
    -0.355865478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11798437293895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31437019} λ = -0.31437019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11798437293895))-π/2
    2×atan(0.326938116249115)-π/2
    2×0.315983859041843-π/2
    0.631967718083687-1.57079632675     		φ = -0.93882861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31437019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.012085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93882861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.790917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58978 KachelY 88858 -0.31437019 -0.93882861 -18.012085 -53.790917
    Oben rechts KachelX + 1 58979 KachelY 88858 -0.31432225 -0.93882861 -18.009338 -53.790917
    Unten links KachelX 58978 KachelY + 1 88859 -0.31437019 -0.93885693 -18.012085 -53.792540
    Unten rechts KachelX + 1 58979 KachelY + 1 88859 -0.31432225 -0.93885693 -18.009338 -53.792540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93882861--0.93885693) × R
    2.83200000000816e-05 × 6371000     		dl = 180.42672000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93882861--0.93885693) × R
    2.83200000000816e-05 × 6371000     		dr = 180.42672000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31437019--0.31432225) × cos(-0.93882861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590733585657887 × 6371000     		do = 180.425242542295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31437019--0.31432225) × cos(-0.93885693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590710734956771 × 6371000     		du = 180.418263349997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93882861)-sin(-0.93885693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590733585657887-0.590710734956771)×R²
    abs(-0.31432225--0.31437019)×2.28507011159618e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28507011159618e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28507011159618e-05×40589641000000     		ar = 32552.9051031254m²