Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58977 / 89359
↖ ↑ ↗
← S 54.595936°
W 18.014831°		 ← 176.91 m → S 54.595936°
W 18.012085°		 →
↑
176.92 m
↓
↑
176.92 m
↓
S 54.597528°
W 18.014831°		 ← 176.90 m →
31 298 m²		 S 54.597528°
W 18.012085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449962615966797 y=0.681758880615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449962615966797 × 217)
    floor (0.449962615966797 × 131072)
    floor (58977.5)     		tx = 58977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681758880615234 × 217)
    floor (0.681758880615234 × 131072)
    floor (89359.5)     		ty = 89359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58977 / 89359 ti = "17/58977/89359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58977/89359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58977 ÷ 217
    58977 ÷ 131072     		x = 0.449958801269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89359 ÷ 217
    89359 ÷ 131072     		y = 0.681755065917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449958801269531 × 2 - 1) × π
    -0.100082397460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.31441812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681755065917969 × 2 - 1) × π
    -0.363510131835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.1420007596486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31441812} λ = -0.31441812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1420007596486))-π/2
    2×atan(0.319179780519938)-π/2
    2×0.308958736758505-π/2
    0.617917473517009-1.57079632675     		φ = -0.95287885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31441812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.014831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95287885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.595936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58977 KachelY 89359 -0.31441812 -0.95287885 -18.014831 -54.595936
    Oben rechts KachelX + 1 58978 KachelY 89359 -0.31437019 -0.95287885 -18.012085 -54.595936
    Unten links KachelX 58977 KachelY + 1 89360 -0.31441812 -0.95290662 -18.014831 -54.597528
    Unten rechts KachelX + 1 58978 KachelY + 1 89360 -0.31437019 -0.95290662 -18.012085 -54.597528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95287885--0.95290662) × R
    2.77699999999825e-05 × 6371000     		dl = 176.922669999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95287885--0.95290662) × R
    2.77699999999825e-05 × 6371000     		dr = 176.922669999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31441812--0.31437019) × cos(-0.95287885) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.579338981044208 × 6371000     		do = 176.908127309899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31441812--0.31437019) × cos(-0.95290662) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.579316345862885 × 6371000     		du = 176.901215384981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95287885)-sin(-0.95290662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579338981044208-0.579316345862885)×R²
    abs(-0.31437019--0.31441812)×2.26351813228387e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26351813228387e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26351813228387e-05×40589641000000     		ar = 31298.4467922892m²