Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58974 / 88950
↖ ↑ ↗
← S 53.939922°
W 18.023072°		 ← 179.78 m → S 53.939922°
W 18.020325°		 →
↑
179.73 m
↓
↑
179.73 m
↓
S 53.941538°
W 18.023072°		 ← 179.78 m →
32 311 m²		 S 53.941538°
W 18.020325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449939727783203 y=0.678638458251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449939727783203 × 217)
    floor (0.449939727783203 × 131072)
    floor (58974.5)     		tx = 58974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678638458251953 × 217)
    floor (0.678638458251953 × 131072)
    floor (88950.5)     		ty = 88950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58974 / 88950 ti = "17/58974/88950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58974/88950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58974 ÷ 217
    58974 ÷ 131072     		x = 0.449935913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88950 ÷ 217
    88950 ÷ 131072     		y = 0.678634643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449935913085938 × 2 - 1) × π
    -0.100128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31456194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678634643554688 × 2 - 1) × π
    -0.357269287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12239456770399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31456194} λ = -0.31456194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12239456770399))-π/2
    2×atan(0.325499430254907)-π/2
    2×0.314683550332502-π/2
    0.629367100665003-1.57079632675     		φ = -0.94142923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31456194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.023072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94142923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.939922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58974 KachelY 88950 -0.31456194 -0.94142923 -18.023072 -53.939922
    Oben rechts KachelX + 1 58975 KachelY 88950 -0.31451400 -0.94142923 -18.020325 -53.939922
    Unten links KachelX 58974 KachelY + 1 88951 -0.31456194 -0.94145744 -18.023072 -53.941538
    Unten rechts KachelX + 1 58975 KachelY + 1 88951 -0.31451400 -0.94145744 -18.020325 -53.941538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94142923--0.94145744) × R
    2.8209999999973e-05 × 6371000     		dl = 179.725909999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94142923--0.94145744) × R
    2.8209999999973e-05 × 6371000     		dr = 179.725909999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31456194--0.31451400) × cos(-0.94142923) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.588633236780776 × 6371000     		do = 179.783741932246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31456194--0.31451400) × cos(-0.94145744) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.588610431576409 × 6371000     		du = 179.776776635826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94142923)-sin(-0.94145744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588633236780776-0.588610431576409)×R²
    abs(-0.31451400--0.31456194)×2.28052043668159e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28052043668159e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28052043668159e-05×40589641000000     		ar = 32311.1707019021m²