Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58974 / 86902
↖ ↑ ↗
← S 50.495958°
W 18.023072°		 ← 194.29 m → S 50.495958°
W 18.020325°		 →
↑
194.32 m
↓
↑
194.32 m
↓
S 50.497705°
W 18.023072°		 ← 194.28 m →
37 753 m²		 S 50.497705°
W 18.020325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449939727783203 y=0.663013458251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449939727783203 × 217)
    floor (0.449939727783203 × 131072)
    floor (58974.5)     		tx = 58974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663013458251953 × 217)
    floor (0.663013458251953 × 131072)
    floor (86902.5)     		ty = 86902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58974 / 86902 ti = "17/58974/86902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58974/86902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58974 ÷ 217
    58974 ÷ 131072     		x = 0.449935913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86902 ÷ 217
    86902 ÷ 131072     		y = 0.663009643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449935913085938 × 2 - 1) × π
    -0.100128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31456194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663009643554688 × 2 - 1) × π
    -0.326019287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02421979728212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31456194} λ = -0.31456194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02421979728212))-π/2
    2×atan(0.359076508614458)-π/2
    2×0.344737801672437-π/2
    0.689475603344874-1.57079632675     		φ = -0.88132072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31456194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.023072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88132072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.495958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58974 KachelY 86902 -0.31456194 -0.88132072 -18.023072 -50.495958
    Oben rechts KachelX + 1 58975 KachelY 86902 -0.31451400 -0.88132072 -18.020325 -50.495958
    Unten links KachelX 58974 KachelY + 1 86903 -0.31456194 -0.88135122 -18.023072 -50.497705
    Unten rechts KachelX + 1 58975 KachelY + 1 86903 -0.31451400 -0.88135122 -18.020325 -50.497705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88132072--0.88135122) × R
    3.05000000000444e-05 × 6371000     		dl = 194.315500000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88132072--0.88135122) × R
    3.05000000000444e-05 × 6371000     		dr = 194.315500000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31456194--0.31451400) × cos(-0.88132072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636132658550661 × 6371000     		do = 194.291287975875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31456194--0.31451400) × cos(-0.88135122) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636109125073789 × 6371000     		du = 194.284100246287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88132072)-sin(-0.88135122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636132658550661-0.636109125073789)×R²
    abs(-0.31451400--0.31456194)×2.35334768713402e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35334768713402e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35334768713402e-05×40589641000000     		ar = 37753.110428063m²