Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58973 / 89269
↖ ↑ ↗
← S 54.452476°
W 18.025818°		 ← 177.53 m → S 54.452476°
W 18.023072°		 →
↑
177.56 m
↓
↑
177.56 m
↓
S 54.454073°
W 18.025818°		 ← 177.52 m →
31 522 m²		 S 54.454073°
W 18.023072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449932098388672 y=0.681072235107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449932098388672 × 217)
    floor (0.449932098388672 × 131072)
    floor (58973.5)     		tx = 58973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681072235107422 × 217)
    floor (0.681072235107422 × 131072)
    floor (89269.5)     		ty = 89269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58973 / 89269 ti = "17/58973/89269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58973/89269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58973 ÷ 217
    58973 ÷ 131072     		x = 0.449928283691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89269 ÷ 217
    89269 ÷ 131072     		y = 0.681068420410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449928283691406 × 2 - 1) × π
    -0.100143432617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.31460987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681068420410156 × 2 - 1) × π
    -0.362136840820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.13768643868279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31460987} λ = -0.31460987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13768643868279))-π/2
    2×atan(0.320559799320353)-π/2
    2×0.310210662541177-π/2
    0.620421325082355-1.57079632675     		φ = -0.95037500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31460987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.025818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95037500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.452476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58973 KachelY 89269 -0.31460987 -0.95037500 -18.025818 -54.452476
    Oben rechts KachelX + 1 58974 KachelY 89269 -0.31456194 -0.95037500 -18.023072 -54.452476
    Unten links KachelX 58973 KachelY + 1 89270 -0.31460987 -0.95040287 -18.025818 -54.454073
    Unten rechts KachelX + 1 58974 KachelY + 1 89270 -0.31456194 -0.95040287 -18.023072 -54.454073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95037500--0.95040287) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dl = 177.559770000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95037500--0.95040287) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dr = 177.559770000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31460987--0.31456194) × cos(-0.95037500) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.581378017757145 × 6371000     		do = 177.530771699806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31460987--0.31456194) × cos(-0.95040287) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.581355341563519 × 6371000     		du = 177.523847251288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95037500)-sin(-0.95040287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581378017757145-0.581355341563519)×R²
    abs(-0.31456194--0.31460987)×2.26761936257258e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26761936257258e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26761936257258e-05×40589641000000     		ar = 31521.7082412687m²