Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58971 / 89283
↖ ↑ ↗
← S 54.474826°
W 18.031311°		 ← 177.47 m → S 54.474826°
W 18.028565°		 →
↑
177.43 m
↓
↑
177.43 m
↓
S 54.476422°
W 18.031311°		 ← 177.46 m →
31 488 m²		 S 54.476422°
W 18.028565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449916839599609 y=0.681179046630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449916839599609 × 217)
    floor (0.449916839599609 × 131072)
    floor (58971.5)     		tx = 58971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681179046630859 × 217)
    floor (0.681179046630859 × 131072)
    floor (89283.5)     		ty = 89283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58971 / 89283 ti = "17/58971/89283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58971/89283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58971 ÷ 217
    58971 ÷ 131072     		x = 0.449913024902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89283 ÷ 217
    89283 ÷ 131072     		y = 0.681175231933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449913024902344 × 2 - 1) × π
    -0.100173950195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.31470575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681175231933594 × 2 - 1) × π
    -0.362350463867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.13835755527747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31470575} λ = -0.31470575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13835755527747))-π/2
    2×atan(0.320344738492958)-π/2
    2×0.31001562958188-π/2
    0.62003125916376-1.57079632675     		φ = -0.95076507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31470575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.031311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95076507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.474826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58971 KachelY 89283 -0.31470575 -0.95076507 -18.031311 -54.474826
    Oben rechts KachelX + 1 58972 KachelY 89283 -0.31465781 -0.95076507 -18.028565 -54.474826
    Unten links KachelX 58971 KachelY + 1 89284 -0.31470575 -0.95079292 -18.031311 -54.476422
    Unten rechts KachelX + 1 58972 KachelY + 1 89284 -0.31465781 -0.95079292 -18.028565 -54.476422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95076507--0.95079292) × R
    2.78500000000514e-05 × 6371000     		dl = 177.432350000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95076507--0.95079292) × R
    2.78500000000514e-05 × 6371000     		dr = 177.432350000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31470575--0.31465781) × cos(-0.95076507) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.58106059948546 × 6371000     		do = 177.470863582779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31470575--0.31465781) × cos(-0.95079292) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.581037933250906 × 6371000     		du = 177.463940731318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95076507)-sin(-0.95079292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58106059948546-0.581037933250906)×R²
    abs(-0.31465781--0.31470575)×2.26662345538253e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26662345538253e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26662345538253e-05×40589641000000     		ar = 31488.4582152524m²