Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58971 / 87641
↖ ↑ ↗
← S 51.769540°
W 18.031311°		 ← 189.01 m → S 51.769540°
W 18.028565°		 →
↑
188.96 m
↓
↑
188.96 m
↓
S 51.771239°
W 18.031311°		 ← 189 m →
35 715 m²		 S 51.771239°
W 18.028565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449916839599609 y=0.668651580810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449916839599609 × 217)
    floor (0.449916839599609 × 131072)
    floor (58971.5)     		tx = 58971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668651580810547 × 217)
    floor (0.668651580810547 × 131072)
    floor (87641.5)     		ty = 87641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58971 / 87641 ti = "17/58971/87641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58971/87641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58971 ÷ 217
    58971 ÷ 131072     		x = 0.449913024902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87641 ÷ 217
    87641 ÷ 131072     		y = 0.668647766113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449913024902344 × 2 - 1) × π
    -0.100173950195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.31470575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668647766113281 × 2 - 1) × π
    -0.337295532226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.05964516610134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31470575} λ = -0.31470575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05964516610134))-π/2
    2×atan(0.346578766409152)-π/2
    2×0.333623704485805-π/2
    0.667247408971611-1.57079632675     		φ = -0.90354892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31470575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.031311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90354892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.769540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58971 KachelY 87641 -0.31470575 -0.90354892 -18.031311 -51.769540
    Oben rechts KachelX + 1 58972 KachelY 87641 -0.31465781 -0.90354892 -18.028565 -51.769540
    Unten links KachelX 58971 KachelY + 1 87642 -0.31470575 -0.90357858 -18.031311 -51.771239
    Unten rechts KachelX + 1 58972 KachelY + 1 87642 -0.31465781 -0.90357858 -18.028565 -51.771239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90354892--0.90357858) × R
    2.96600000000424e-05 × 6371000     		dl = 188.96386000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90354892--0.90357858) × R
    2.96600000000424e-05 × 6371000     		dr = 188.96386000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31470575--0.31465781) × cos(-0.90354892) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.618826095037263 × 6371000     		do = 189.005418008161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31470575--0.31465781) × cos(-0.90357858) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.618802796004113 × 6371000     		du = 188.99830188372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90354892)-sin(-0.90357858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618826095037263-0.618802796004113)×R²
    abs(-0.31465781--0.31470575)×2.32990331501259e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32990331501259e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32990331501259e-05×40589641000000     		ar = 35714.5210053185m²