Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58969 / 87637
↖ ↑ ↗
← S 51.762740°
W 18.036804°		 ← 189.03 m → S 51.762740°
W 18.034057°		 →
↑
189.03 m
↓
↑
189.03 m
↓
S 51.764440°
W 18.036804°		 ← 189.03 m →
35 732 m²		 S 51.764440°
W 18.034057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449901580810547 y=0.668621063232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449901580810547 × 217)
    floor (0.449901580810547 × 131072)
    floor (58969.5)     		tx = 58969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668621063232422 × 217)
    floor (0.668621063232422 × 131072)
    floor (87637.5)     		ty = 87637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58969 / 87637 ti = "17/58969/87637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58969/87637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58969 ÷ 217
    58969 ÷ 131072     		x = 0.449897766113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87637 ÷ 217
    87637 ÷ 131072     		y = 0.668617248535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449897766113281 × 2 - 1) × π
    -0.100204467773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.31480162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668617248535156 × 2 - 1) × π
    -0.337234497070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.05945341850286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31480162} λ = -0.31480162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05945341850286))-π/2
    2×atan(0.346645228427058)-π/2
    2×0.333683038163029-π/2
    0.667366076326059-1.57079632675     		φ = -0.90343025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31480162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.036804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90343025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.762740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58969 KachelY 87637 -0.31480162 -0.90343025 -18.036804 -51.762740
    Oben rechts KachelX + 1 58970 KachelY 87637 -0.31475368 -0.90343025 -18.034057 -51.762740
    Unten links KachelX 58969 KachelY + 1 87638 -0.31480162 -0.90345992 -18.036804 -51.764440
    Unten rechts KachelX + 1 58970 KachelY + 1 87638 -0.31475368 -0.90345992 -18.034057 -51.764440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90343025--0.90345992) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dl = 189.027569999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90343025--0.90345992) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dr = 189.027569999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31480162--0.31475368) × cos(-0.90343025) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.618919309289386 × 6371000     		do = 189.033888040095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31480162--0.31475368) × cos(-0.90345992) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.618896004579744 × 6371000     		du = 189.026770181907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90343025)-sin(-0.90345992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618919309289386-0.618896004579744)×R²
    abs(-0.31475368--0.31480162)×2.33047096418471e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33047096418471e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33047096418471e-05×40589641000000     		ar = 35731.9437706678m²