Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58967 / 87193
↖ ↑ ↗
← S 51.001657°
W 18.042297°		 ← 192.16 m → S 51.001657°
W 18.039551°		 →
↑
192.21 m
↓
↑
192.21 m
↓
S 51.003386°
W 18.042297°		 ← 192.16 m →
36 936 m²		 S 51.003386°
W 18.039551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449886322021484 y=0.665233612060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449886322021484 × 217)
    floor (0.449886322021484 × 131072)
    floor (58967.5)     		tx = 58967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665233612060547 × 217)
    floor (0.665233612060547 × 131072)
    floor (87193.5)     		ty = 87193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58967 / 87193 ti = "17/58967/87193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58967/87193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58967 ÷ 217
    58967 ÷ 131072     		x = 0.449882507324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87193 ÷ 217
    87193 ÷ 131072     		y = 0.665229797363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449882507324219 × 2 - 1) × π
    -0.100234985351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.31489749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665229797363281 × 2 - 1) × π
    -0.330459594726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.03816943507156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31489749} λ = -0.31489749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03816943507156))-π/2
    2×atan(0.354102296272549)-π/2
    2×0.340324741421606-π/2
    0.680649482843211-1.57079632675     		φ = -0.89014684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31489749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.042297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89014684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.001657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58967 KachelY 87193 -0.31489749 -0.89014684 -18.042297 -51.001657
    Oben rechts KachelX + 1 58968 KachelY 87193 -0.31484956 -0.89014684 -18.039551 -51.001657
    Unten links KachelX 58967 KachelY + 1 87194 -0.31489749 -0.89017701 -18.042297 -51.003386
    Unten rechts KachelX + 1 58968 KachelY + 1 87194 -0.31484956 -0.89017701 -18.039551 -51.003386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89014684--0.89017701) × R
    3.01700000000515e-05 × 6371000     		dl = 192.213070000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89014684--0.89017701) × R
    3.01700000000515e-05 × 6371000     		dr = 192.213070000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31489749--0.31484956) × cos(-0.89014684) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.629297914573014 × 6371000     		do = 192.1636886689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31489749--0.31484956) × cos(-0.89017701) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.629274467243847 × 6371000     		du = 192.156528744867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89014684)-sin(-0.89017701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629297914573014-0.629274467243847)×R²
    abs(-0.31484956--0.31489749)×2.34473291669257e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34473291669257e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34473291669257e-05×40589641000000     		ar = 36935.6844289484m²