Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58966 / 87634
↖ ↑ ↗
← S 51.757641°
W 18.045044°		 ← 189.06 m → S 51.757641°
W 18.042297°		 →
↑
189.03 m
↓
↑
189.03 m
↓
S 51.759340°
W 18.045044°		 ← 189.05 m →
35 736 m²		 S 51.759340°
W 18.042297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449878692626953 y=0.668598175048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449878692626953 × 217)
    floor (0.449878692626953 × 131072)
    floor (58966.5)     		tx = 58966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668598175048828 × 217)
    floor (0.668598175048828 × 131072)
    floor (87634.5)     		ty = 87634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58966 / 87634 ti = "17/58966/87634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58966/87634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58966 ÷ 217
    58966 ÷ 131072     		x = 0.449874877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87634 ÷ 217
    87634 ÷ 131072     		y = 0.668594360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449874877929688 × 2 - 1) × π
    -0.100250244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31494543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668594360351562 × 2 - 1) × π
    -0.337188720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.059309607804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31494543} λ = -0.31494543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.059309607804))-π/2
    2×atan(0.346695083304361)-π/2
    2×0.333727544285734-π/2
    0.667455088571469-1.57079632675     		φ = -0.90334124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31494543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.045044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90334124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.757641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58966 KachelY 87634 -0.31494543 -0.90334124 -18.045044 -51.757641
    Oben rechts KachelX + 1 58967 KachelY 87634 -0.31489749 -0.90334124 -18.042297 -51.757641
    Unten links KachelX 58966 KachelY + 1 87635 -0.31494543 -0.90337091 -18.045044 -51.759340
    Unten rechts KachelX + 1 58967 KachelY + 1 87635 -0.31489749 -0.90337091 -18.042297 -51.759340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90334124--0.90337091) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dl = 189.027569999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90334124--0.90337091) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dr = 189.027569999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31494543--0.31489749) × cos(-0.90334124) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.618989220149189 × 6371000     		do = 189.055240616184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31494543--0.31489749) × cos(-0.90337091) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.618965917074129 × 6371000     		du = 189.048123257239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90334124)-sin(-0.90337091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618989220149189-0.618965917074129)×R²
    abs(-0.31489749--0.31494543)×2.33030750597107e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33030750597107e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33030750597107e-05×40589641000000     		ar = 35735.9800435541m²