Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58965 / 87638
↖ ↑ ↗
← S 51.764440°
W 18.047791°		 ← 189.03 m → S 51.764440°
W 18.045044°		 →
↑
189.03 m
↓
↑
189.03 m
↓
S 51.766140°
W 18.047791°		 ← 189.02 m →
35 731 m²		 S 51.766140°
W 18.045044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449871063232422 y=0.668628692626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449871063232422 × 217)
    floor (0.449871063232422 × 131072)
    floor (58965.5)     		tx = 58965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668628692626953 × 217)
    floor (0.668628692626953 × 131072)
    floor (87638.5)     		ty = 87638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58965 / 87638 ti = "17/58965/87638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58965/87638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58965 ÷ 217
    58965 ÷ 131072     		x = 0.449867248535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87638 ÷ 217
    87638 ÷ 131072     		y = 0.668624877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449867248535156 × 2 - 1) × π
    -0.100265502929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.31499337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668624877929688 × 2 - 1) × π
    -0.337249755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05950135540248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31499337} λ = -0.31499337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05950135540248))-π/2
    2×atan(0.346628611727819)-π/2
    2×0.333668203905913-π/2
    0.667336407811825-1.57079632675     		φ = -0.90345992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31499337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.047791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90345992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.764440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58965 KachelY 87638 -0.31499337 -0.90345992 -18.047791 -51.764440
    Oben rechts KachelX + 1 58966 KachelY 87638 -0.31494543 -0.90345992 -18.045044 -51.764440
    Unten links KachelX 58965 KachelY + 1 87639 -0.31499337 -0.90348959 -18.047791 -51.766140
    Unten rechts KachelX + 1 58966 KachelY + 1 87639 -0.31494543 -0.90348959 -18.045044 -51.766140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90345992--0.90348959) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dl = 189.027569999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90345992--0.90348959) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dr = 189.027569999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31499337--0.31494543) × cos(-0.90345992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618896004579744 × 6371000     		do = 189.026770181688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31499337--0.31494543) × cos(-0.90348959) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618872699325283 × 6371000     		du = 189.019652157098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90345992)-sin(-0.90348959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618896004579744-0.618872699325283)×R²
    abs(-0.31494543--0.31499337)×2.33052544614809e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33052544614809e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33052544614809e-05×40589641000000     		ar = 35730.5982835369m²