Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58965 / 87625
↖ ↑ ↗
← S 51.742337°
W 18.047791°		 ← 189.12 m → S 51.742337°
W 18.045044°		 →
↑
189.09 m
↓
↑
189.09 m
↓
S 51.744037°
W 18.047791°		 ← 189.11 m →
35 760 m²		 S 51.744037°
W 18.045044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449871063232422 y=0.668529510498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449871063232422 × 217)
    floor (0.449871063232422 × 131072)
    floor (58965.5)     		tx = 58965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668529510498047 × 217)
    floor (0.668529510498047 × 131072)
    floor (87625.5)     		ty = 87625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58965 / 87625 ti = "17/58965/87625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58965/87625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58965 ÷ 217
    58965 ÷ 131072     		x = 0.449867248535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87625 ÷ 217
    87625 ÷ 131072     		y = 0.668525695800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449867248535156 × 2 - 1) × π
    -0.100265502929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.31499337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668525695800781 × 2 - 1) × π
    -0.337051391601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.05887817570742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31499337} λ = -0.31499337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05887817570742))-π/2
    2×atan(0.346844690961477)-π/2
    2×0.333861092817904-π/2
    0.667722185635808-1.57079632675     		φ = -0.90307414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31499337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.047791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90307414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.742337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58965 KachelY 87625 -0.31499337 -0.90307414 -18.047791 -51.742337
    Oben rechts KachelX + 1 58966 KachelY 87625 -0.31494543 -0.90307414 -18.045044 -51.742337
    Unten links KachelX 58965 KachelY + 1 87626 -0.31499337 -0.90310382 -18.047791 -51.744037
    Unten rechts KachelX + 1 58966 KachelY + 1 87626 -0.31494543 -0.90310382 -18.045044 -51.744037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90307414--0.90310382) × R
    2.96800000000319e-05 × 6371000     		dl = 189.091280000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90307414--0.90310382) × R
    2.96800000000319e-05 × 6371000     		dr = 189.091280000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31499337--0.31494543) × cos(-0.90307414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.619198978268077 × 6371000     		do = 189.119306144647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31499337--0.31494543) × cos(-0.90310382) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.619175672246633 × 6371000     		du = 189.112187885801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90307414)-sin(-0.90310382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619198978268077-0.619175672246633)×R²
    abs(-0.31494543--0.31499337)×2.33060214448466e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33060214448466e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33060214448466e-05×40589641000000     		ar = 35760.1386739826m²