Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58963 / 89217
↖ ↑ ↗
← S 54.369359°
W 18.053284°		 ← 177.93 m → S 54.369359°
W 18.050537°		 →
↑
177.94 m
↓
↑
177.94 m
↓
S 54.370959°
W 18.053284°		 ← 177.92 m →
31 660 m²		 S 54.370959°
W 18.050537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449855804443359 y=0.680675506591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449855804443359 × 217)
    floor (0.449855804443359 × 131072)
    floor (58963.5)     		tx = 58963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680675506591797 × 217)
    floor (0.680675506591797 × 131072)
    floor (89217.5)     		ty = 89217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58963 / 89217 ti = "17/58963/89217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58963/89217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58963 ÷ 217
    58963 ÷ 131072     		x = 0.449851989746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89217 ÷ 217
    89217 ÷ 131072     		y = 0.680671691894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449851989746094 × 2 - 1) × π
    -0.100296020507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.31508924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680671691894531 × 2 - 1) × π
    -0.361343383789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.13519371990255
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31508924} λ = -0.31508924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13519371990255))-π/2
    2×atan(0.321359861503048)-π/2
    2×0.310936003542117-π/2
    0.621872007084234-1.57079632675     		φ = -0.94892432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31508924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.053284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94892432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.369359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58963 KachelY 89217 -0.31508924 -0.94892432 -18.053284 -54.369359
    Oben rechts KachelX + 1 58964 KachelY 89217 -0.31504130 -0.94892432 -18.050537 -54.369359
    Unten links KachelX 58963 KachelY + 1 89218 -0.31508924 -0.94895225 -18.053284 -54.370959
    Unten rechts KachelX + 1 58964 KachelY + 1 89218 -0.31504130 -0.94895225 -18.050537 -54.370959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94892432--0.94895225) × R
    2.79300000000093e-05 × 6371000     		dl = 177.942030000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94892432--0.94895225) × R
    2.79300000000093e-05 × 6371000     		dr = 177.942030000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31508924--0.31504130) × cos(-0.94892432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582557727556266 × 6371000     		do = 177.928125031474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31508924--0.31504130) × cos(-0.94895225) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582535026123075 × 6371000     		du = 177.921191429443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94892432)-sin(-0.94895225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582557727556266-0.582535026123075)×R²
    abs(-0.31504130--0.31508924)×2.27014331908304e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27014331908304e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27014331908304e-05×40589641000000     		ar = 31660.2748746076m²