Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58963 / 87233
↖ ↑ ↗
← S 51.070743°
W 18.053284°		 ← 191.92 m → S 51.070743°
W 18.050537°		 →
↑
191.89 m
↓
↑
191.89 m
↓
S 51.072468°
W 18.053284°		 ← 191.91 m →
36 827 m²		 S 51.072468°
W 18.050537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449855804443359 y=0.665538787841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449855804443359 × 217)
    floor (0.449855804443359 × 131072)
    floor (58963.5)     		tx = 58963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665538787841797 × 217)
    floor (0.665538787841797 × 131072)
    floor (87233.5)     		ty = 87233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58963 / 87233 ti = "17/58963/87233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58963/87233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58963 ÷ 217
    58963 ÷ 131072     		x = 0.449851989746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87233 ÷ 217
    87233 ÷ 131072     		y = 0.665534973144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449851989746094 × 2 - 1) × π
    -0.100296020507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.31508924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665534973144531 × 2 - 1) × π
    -0.331069946289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.04008691105636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31508924} λ = -0.31508924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04008691105636))-π/2
    2×atan(0.353423964173873)-π/2
    2×0.339721859068844-π/2
    0.679443718137689-1.57079632675     		φ = -0.89135261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31508924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.053284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89135261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.070743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58963 KachelY 87233 -0.31508924 -0.89135261 -18.053284 -51.070743
    Oben rechts KachelX + 1 58964 KachelY 87233 -0.31504130 -0.89135261 -18.050537 -51.070743
    Unten links KachelX 58963 KachelY + 1 87234 -0.31508924 -0.89138273 -18.053284 -51.072468
    Unten rechts KachelX + 1 58964 KachelY + 1 87234 -0.31504130 -0.89138273 -18.050537 -51.072468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89135261--0.89138273) × R
    3.01200000000224e-05 × 6371000     		dl = 191.894520000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89135261--0.89138273) × R
    3.01200000000224e-05 × 6371000     		dr = 191.894520000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31508924--0.31504130) × cos(-0.89135261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.628360376106276 × 6371000     		do = 191.917432858812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31508924--0.31504130) × cos(-0.89138273) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.628336944799002 × 6371000     		du = 191.910276334448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89135261)-sin(-0.89138273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628360376106276-0.628336944799002)×R²
    abs(-0.31504130--0.31508924)×2.34313072742243e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34313072742243e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34313072742243e-05×40589641000000     		ar = 36827.2170120363m²