Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58963 / 86873
↖ ↑ ↗
← S 50.445262°
W 18.053284°		 ← 194.50 m → S 50.445262°
W 18.050537°		 →
↑
194.44 m
↓
↑
194.44 m
↓
S 50.447011°
W 18.053284°		 ← 194.49 m →
37 818 m²		 S 50.447011°
W 18.050537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449855804443359 y=0.662792205810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449855804443359 × 217)
    floor (0.449855804443359 × 131072)
    floor (58963.5)     		tx = 58963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662792205810547 × 217)
    floor (0.662792205810547 × 131072)
    floor (86873.5)     		ty = 86873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58963 / 86873 ti = "17/58963/86873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58963/86873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58963 ÷ 217
    58963 ÷ 131072     		x = 0.449851989746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86873 ÷ 217
    86873 ÷ 131072     		y = 0.662788391113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449851989746094 × 2 - 1) × π
    -0.100296020507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.31508924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662788391113281 × 2 - 1) × π
    -0.325576782226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.02282962719314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31508924} λ = -0.31508924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02282962719314))-π/2
    2×atan(0.359576033167989)-π/2
    2×0.345180205134718-π/2
    0.690360410269437-1.57079632675     		φ = -0.88043592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31508924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.053284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88043592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.445262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58963 KachelY 86873 -0.31508924 -0.88043592 -18.053284 -50.445262
    Oben rechts KachelX + 1 58964 KachelY 86873 -0.31504130 -0.88043592 -18.050537 -50.445262
    Unten links KachelX 58963 KachelY + 1 86874 -0.31508924 -0.88046644 -18.053284 -50.447011
    Unten rechts KachelX + 1 58964 KachelY + 1 86874 -0.31504130 -0.88046644 -18.050537 -50.447011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88043592--0.88046644) × R
    3.05199999999228e-05 × 6371000     		dl = 194.442919999508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88043592--0.88046644) × R
    3.05199999999228e-05 × 6371000     		dr = 194.442919999508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31508924--0.31504130) × cos(-0.88043592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636815103179412 × 6371000     		do = 194.499724131621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31508924--0.31504130) × cos(-0.88046644) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636791571457644 × 6371000     		du = 194.492536938086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88043592)-sin(-0.88046644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636815103179412-0.636791571457644)×R²
    abs(-0.31504130--0.31508924)×2.35317217683884e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35317217683884e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35317217683884e-05×40589641000000     		ar = 37818.3955527232m²