Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58960 / 89208
↖ ↑ ↗
← S 54.354956°
W 18.061523°		 ← 177.95 m → S 54.354956°
W 18.058777°		 →
↑
178.01 m
↓
↑
178.01 m
↓
S 54.356556°
W 18.061523°		 ← 177.95 m →
31 676 m²		 S 54.356556°
W 18.058777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449832916259766 y=0.680606842041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449832916259766 × 217)
    floor (0.449832916259766 × 131072)
    floor (58960.5)     		tx = 58960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680606842041016 × 217)
    floor (0.680606842041016 × 131072)
    floor (89208.5)     		ty = 89208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58960 / 89208 ti = "17/58960/89208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58960/89208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58960 ÷ 217
    58960 ÷ 131072     		x = 0.4498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89208 ÷ 217
    89208 ÷ 131072     		y = 0.68060302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4498291015625 × 2 - 1) × π
    -0.100341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31523305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68060302734375 × 2 - 1) × π
    -0.3612060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13476228780597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31523305} λ = -0.31523305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13476228780597))-π/2
    2×atan(0.321498536374097)-π/2
    2×0.311061692627727-π/2
    0.622123385255454-1.57079632675     		φ = -0.94867294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31523305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.061523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94867294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.354956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58960 KachelY 89208 -0.31523305 -0.94867294 -18.061523 -54.354956
    Oben rechts KachelX + 1 58961 KachelY 89208 -0.31518512 -0.94867294 -18.058777 -54.354956
    Unten links KachelX 58960 KachelY + 1 89209 -0.31523305 -0.94870088 -18.061523 -54.356556
    Unten rechts KachelX + 1 58961 KachelY + 1 89209 -0.31518512 -0.94870088 -18.058777 -54.356556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94867294--0.94870088) × R
    2.79399999999486e-05 × 6371000     		dl = 178.005739999672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94867294--0.94870088) × R
    2.79399999999486e-05 × 6371000     		dr = 178.005739999672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31523305--0.31518512) × cos(-0.94867294) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.582762028129284 × 6371000     		do = 177.953395916584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31523305--0.31518512) × cos(-0.94870088) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.582739322660303 × 6371000     		du = 177.946462528484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94867294)-sin(-0.94870088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582762028129284-0.582739322660303)×R²
    abs(-0.31518512--0.31523305)×2.2705468981421e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2705468981421e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2705468981421e-05×40589641000000     		ar = 31676.1088363009m²