Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58959 / 87631
↖ ↑ ↗
← S 51.752540°
W 18.064270°		 ← 189.08 m → S 51.752540°
W 18.061523°		 →
↑
189.03 m
↓
↑
189.03 m
↓
S 51.754240°
W 18.064270°		 ← 189.07 m →
35 740 m²		 S 51.754240°
W 18.061523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449825286865234 y=0.668575286865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449825286865234 × 217)
    floor (0.449825286865234 × 131072)
    floor (58959.5)     		tx = 58959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668575286865234 × 217)
    floor (0.668575286865234 × 131072)
    floor (87631.5)     		ty = 87631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58959 / 87631 ti = "17/58959/87631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58959/87631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58959 ÷ 217
    58959 ÷ 131072     		x = 0.449821472167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87631 ÷ 217
    87631 ÷ 131072     		y = 0.668571472167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449821472167969 × 2 - 1) × π
    -0.100357055664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.31528099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668571472167969 × 2 - 1) × π
    -0.337142944335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.05916579710514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31528099} λ = -0.31528099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05916579710514))-π/2
    2×atan(0.346744945351844)-π/2
    2×0.333772055435638-π/2
    0.667544110871277-1.57079632675     		φ = -0.90325222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31528099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.064270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90325222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.752540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58959 KachelY 87631 -0.31528099 -0.90325222 -18.064270 -51.752540
    Oben rechts KachelX + 1 58960 KachelY 87631 -0.31523305 -0.90325222 -18.061523 -51.752540
    Unten links KachelX 58959 KachelY + 1 87632 -0.31528099 -0.90328189 -18.064270 -51.754240
    Unten rechts KachelX + 1 58960 KachelY + 1 87632 -0.31523305 -0.90328189 -18.061523 -51.754240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90325222--0.90328189) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dl = 189.027569999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90325222--0.90328189) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dr = 189.027569999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31528099--0.31523305) × cos(-0.90325222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.619059133958319 × 6371000     		do = 189.076594092855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31528099--0.31523305) × cos(-0.90328189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61903583251821 × 6371000     		du = 189.069477233266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90325222)-sin(-0.90328189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619059133958319-0.61903583251821)×R²
    abs(-0.31523305--0.31528099)×2.33014401094245e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33014401094245e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33014401094245e-05×40589641000000     		ar = 35740.0164866343m²