Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58957 / 87639
↖ ↑ ↗
← S 51.766140°
W 18.069763°		 ← 188.98 m → S 51.766140°
W 18.067017°		 →
↑
188.96 m
↓
↑
188.96 m
↓
S 51.767840°
W 18.069763°		 ← 188.97 m →
35 710 m²		 S 51.767840°
W 18.067017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449810028076172 y=0.668636322021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449810028076172 × 217)
    floor (0.449810028076172 × 131072)
    floor (58957.5)     		tx = 58957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668636322021484 × 217)
    floor (0.668636322021484 × 131072)
    floor (87639.5)     		ty = 87639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58957 / 87639 ti = "17/58957/87639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58957/87639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58957 ÷ 217
    58957 ÷ 131072     		x = 0.449806213378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87639 ÷ 217
    87639 ÷ 131072     		y = 0.668632507324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449806213378906 × 2 - 1) × π
    -0.100387573242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.31537686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668632507324219 × 2 - 1) × π
    -0.337265014648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.0595492923021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31537686} λ = -0.31537686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0595492923021))-π/2
    2×atan(0.346611995825113)-π/2
    2×0.333653370207342-π/2
    0.667306740414683-1.57079632675     		φ = -0.90348959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31537686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.069763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90348959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.766140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58957 KachelY 87639 -0.31537686 -0.90348959 -18.069763 -51.766140
    Oben rechts KachelX + 1 58958 KachelY 87639 -0.31532893 -0.90348959 -18.067017 -51.766140
    Unten links KachelX 58957 KachelY + 1 87640 -0.31537686 -0.90351925 -18.069763 -51.767840
    Unten rechts KachelX + 1 58958 KachelY + 1 87640 -0.31532893 -0.90351925 -18.067017 -51.767840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90348959--0.90351925) × R
    2.96600000000424e-05 × 6371000     		dl = 188.96386000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90348959--0.90351925) × R
    2.96600000000424e-05 × 6371000     		dr = 188.96386000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31537686--0.31532893) × cos(-0.90348959) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.618872699325283 × 6371000     		do = 188.980223777445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31537686--0.31532893) × cos(-0.90351925) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.618849401381119 × 6371000     		du = 188.97310946992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90348959)-sin(-0.90351925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618872699325283-0.618849401381119)×R²
    abs(-0.31532893--0.31537686)×2.32979441640024e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32979441640024e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32979441640024e-05×40589641000000     		ar = 35709.7603777863m²