Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58957 / 87627
↖ ↑ ↗
← S 51.745738°
W 18.069763°		 ← 189.07 m → S 51.745738°
W 18.067017°		 →
↑
189.09 m
↓
↑
189.09 m
↓
S 51.747438°
W 18.069763°		 ← 189.06 m →
35 750 m²		 S 51.747438°
W 18.067017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449810028076172 y=0.668544769287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449810028076172 × 217)
    floor (0.449810028076172 × 131072)
    floor (58957.5)     		tx = 58957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668544769287109 × 217)
    floor (0.668544769287109 × 131072)
    floor (87627.5)     		ty = 87627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58957 / 87627 ti = "17/58957/87627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58957/87627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58957 ÷ 217
    58957 ÷ 131072     		x = 0.449806213378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87627 ÷ 217
    87627 ÷ 131072     		y = 0.668540954589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449806213378906 × 2 - 1) × π
    -0.100387573242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.31537686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668540954589844 × 2 - 1) × π
    -0.337081909179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.05897404950666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31537686} λ = -0.31537686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05897404950666))-π/2
    2×atan(0.346811439237218)-π/2
    2×0.33383141145597-π/2
    0.66766282291194-1.57079632675     		φ = -0.90313350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31537686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.069763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90313350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.745738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58957 KachelY 87627 -0.31537686 -0.90313350 -18.069763 -51.745738
    Oben rechts KachelX + 1 58958 KachelY 87627 -0.31532893 -0.90313350 -18.067017 -51.745738
    Unten links KachelX 58957 KachelY + 1 87628 -0.31537686 -0.90316318 -18.069763 -51.747438
    Unten rechts KachelX + 1 58958 KachelY + 1 87628 -0.31532893 -0.90316318 -18.067017 -51.747438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90313350--0.90316318) × R
    2.96799999999209e-05 × 6371000     		dl = 189.091279999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90313350--0.90316318) × R
    2.96799999999209e-05 × 6371000     		dr = 189.091279999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31537686--0.31532893) × cos(-0.90313350) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.619152365679755 × 6371000     		do = 189.065623263169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31537686--0.31532893) × cos(-0.90316318) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.619129058567464 × 6371000     		du = 189.058506156046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90313350)-sin(-0.90316318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619152365679755-0.619129058567464)×R²
    abs(-0.31532893--0.31537686)×2.33071122909267e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33071122909267e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33071122909267e-05×40589641000000     		ar = 35749.9878177314m²