Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58956 / 87640
↖ ↑ ↗
← S 51.767840°
W 18.072510°		 ← 189.01 m → S 51.767840°
W 18.069763°		 →
↑
189.03 m
↓
↑
189.03 m
↓
S 51.769540°
W 18.072510°		 ← 189.01 m →
35 728 m²		 S 51.769540°
W 18.069763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449802398681641 y=0.668643951416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449802398681641 × 217)
    floor (0.449802398681641 × 131072)
    floor (58956.5)     		tx = 58956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668643951416016 × 217)
    floor (0.668643951416016 × 131072)
    floor (87640.5)     		ty = 87640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58956 / 87640 ti = "17/58956/87640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58956/87640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58956 ÷ 217
    58956 ÷ 131072     		x = 0.449798583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87640 ÷ 217
    87640 ÷ 131072     		y = 0.66864013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449798583984375 × 2 - 1) × π
    -0.10040283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31542480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66864013671875 × 2 - 1) × π
    -0.3372802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05959722920172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31542480} λ = -0.31542480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05959722920172))-π/2
    2×atan(0.346595380718904)-π/2
    2×0.333638537067309-π/2
    0.667277074134617-1.57079632675     		φ = -0.90351925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31542480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.072510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90351925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.767840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58956 KachelY 87640 -0.31542480 -0.90351925 -18.072510 -51.767840
    Oben rechts KachelX + 1 58957 KachelY 87640 -0.31537686 -0.90351925 -18.069763 -51.767840
    Unten links KachelX 58956 KachelY + 1 87641 -0.31542480 -0.90354892 -18.072510 -51.769540
    Unten rechts KachelX + 1 58957 KachelY + 1 87641 -0.31537686 -0.90354892 -18.069763 -51.769540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90351925--0.90354892) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dl = 189.027569999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90351925--0.90354892) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dr = 189.027569999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31542480--0.31537686) × cos(-0.90351925) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.618849401381119 × 6371000     		do = 189.01253636548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31542480--0.31537686) × cos(-0.90354892) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.618826095037263 × 6371000     		du = 189.005418008161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90351925)-sin(-0.90354892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618849401381119-0.618826095037263)×R²
    abs(-0.31537686--0.31542480)×2.33063438556114e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33063438556114e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33063438556114e-05×40589641000000     		ar = 35727.9076684489m²