Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58954 / 87617
↖ ↑ ↗
← S 51.728730°
W 18.078003°		 ← 189.14 m → S 51.728730°
W 18.075257°		 →
↑
189.15 m
↓
↑
189.15 m
↓
S 51.730431°
W 18.078003°		 ← 189.13 m →
35 775 m²		 S 51.730431°
W 18.075257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449787139892578 y=0.668468475341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449787139892578 × 217)
    floor (0.449787139892578 × 131072)
    floor (58954.5)     		tx = 58954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668468475341797 × 217)
    floor (0.668468475341797 × 131072)
    floor (87617.5)     		ty = 87617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58954 / 87617 ti = "17/58954/87617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58954/87617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58954 ÷ 217
    58954 ÷ 131072     		x = 0.449783325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87617 ÷ 217
    87617 ÷ 131072     		y = 0.668464660644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449783325195312 × 2 - 1) × π
    -0.100433349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31552067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668464660644531 × 2 - 1) × π
    -0.336929321289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.05849468051046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31552067} λ = -0.31552067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05849468051046))-π/2
    2×atan(0.346977729742788)-π/2
    2×0.333979840612251-π/2
    0.667959681224502-1.57079632675     		φ = -0.90283665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31552067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.078003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90283665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.728730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58954 KachelY 87617 -0.31552067 -0.90283665 -18.078003 -51.728730
    Oben rechts KachelX + 1 58955 KachelY 87617 -0.31547274 -0.90283665 -18.075257 -51.728730
    Unten links KachelX 58954 KachelY + 1 87618 -0.31552067 -0.90286634 -18.078003 -51.730431
    Unten rechts KachelX + 1 58955 KachelY + 1 87618 -0.31547274 -0.90286634 -18.075257 -51.730431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90283665--0.90286634) × R
    2.96899999999711e-05 × 6371000     		dl = 189.154989999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90283665--0.90286634) × R
    2.96899999999711e-05 × 6371000     		dr = 189.154989999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31552067--0.31547274) × cos(-0.90283665) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.619385446055925 × 6371000     		do = 189.136797160209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31552067--0.31547274) × cos(-0.90286634) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.619362136548551 × 6371000     		du = 189.129679321718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90283665)-sin(-0.90286634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619385446055925-0.619362136548551)×R²
    abs(-0.31547274--0.31552067)×2.33095073741696e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33095073741696e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33095073741696e-05×40589641000000     		ar = 35775.4957907792m²