Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58952 / 86869
↖ ↑ ↗
← S 50.438265°
W 18.083496°		 ← 194.53 m → S 50.438265°
W 18.080750°		 →
↑
194.51 m
↓
↑
194.51 m
↓
S 50.440015°
W 18.083496°		 ← 194.52 m →
37 836 m²		 S 50.440015°
W 18.080750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449771881103516 y=0.662761688232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449771881103516 × 217)
    floor (0.449771881103516 × 131072)
    floor (58952.5)     		tx = 58952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662761688232422 × 217)
    floor (0.662761688232422 × 131072)
    floor (86869.5)     		ty = 86869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58952 / 86869 ti = "17/58952/86869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58952/86869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58952 ÷ 217
    58952 ÷ 131072     		x = 0.44976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86869 ÷ 217
    86869 ÷ 131072     		y = 0.662757873535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44976806640625 × 2 - 1) × π
    -0.1004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31561655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662757873535156 × 2 - 1) × π
    -0.325515747070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.02263787959466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31561655} λ = -0.31561655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02263787959466))-π/2
    2×atan(0.359644987619534)-π/2
    2×0.345241263531522-π/2
    0.690482527063043-1.57079632675     		φ = -0.88031380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31561655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.083496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88031380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.438265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58952 KachelY 86869 -0.31561655 -0.88031380 -18.083496 -50.438265
    Oben rechts KachelX + 1 58953 KachelY 86869 -0.31556861 -0.88031380 -18.080750 -50.438265
    Unten links KachelX 58952 KachelY + 1 86870 -0.31561655 -0.88034433 -18.083496 -50.440015
    Unten rechts KachelX + 1 58953 KachelY + 1 86870 -0.31556861 -0.88034433 -18.080750 -50.440015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88031380--0.88034433) × R
    3.05299999999731e-05 × 6371000     		dl = 194.506629999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88031380--0.88034433) × R
    3.05299999999731e-05 × 6371000     		dr = 194.506629999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31561655--0.31556861) × cos(-0.88031380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636909254972075 × 6371000     		do = 194.528480512567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31561655--0.31556861) × cos(-0.88034433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636885717914331 × 6371000     		du = 194.521291689288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88031380)-sin(-0.88034433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636909254972075-0.636885717914331)×R²
    abs(-0.31556861--0.31561655)×2.35370577439387e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35370577439387e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35370577439387e-05×40589641000000     		ar = 37836.3800497135m²