Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58951 / 86887
↖ ↑ ↗
← S 50.469743°
W 18.086242°		 ← 194.36 m → S 50.469743°
W 18.083496°		 →
↑
194.38 m
↓
↑
194.38 m
↓
S 50.471491°
W 18.086242°		 ← 194.35 m →
37 779 m²		 S 50.471491°
W 18.083496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449764251708984 y=0.662899017333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449764251708984 × 217)
    floor (0.449764251708984 × 131072)
    floor (58951.5)     		tx = 58951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662899017333984 × 217)
    floor (0.662899017333984 × 131072)
    floor (86887.5)     		ty = 86887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58951 / 86887 ti = "17/58951/86887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58951/86887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58951 ÷ 217
    58951 ÷ 131072     		x = 0.449760437011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86887 ÷ 217
    86887 ÷ 131072     		y = 0.662895202636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449760437011719 × 2 - 1) × π
    -0.100479125976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.31566448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662895202636719 × 2 - 1) × π
    -0.325790405273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.02350074378782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31566448} λ = -0.31566448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02350074378782))-π/2
    2×atan(0.359334796683039)-π/2
    2×0.344966571824769-π/2
    0.689933143649538-1.57079632675     		φ = -0.88086318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31566448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.086242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88086318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.469743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58951 KachelY 86887 -0.31566448 -0.88086318 -18.086242 -50.469743
    Oben rechts KachelX + 1 58952 KachelY 86887 -0.31561655 -0.88086318 -18.083496 -50.469743
    Unten links KachelX 58951 KachelY + 1 86888 -0.31566448 -0.88089369 -18.086242 -50.471491
    Unten rechts KachelX + 1 58952 KachelY + 1 86888 -0.31561655 -0.88089369 -18.083496 -50.471491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88086318--0.88089369) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dl = 194.379209999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88086318--0.88089369) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dr = 194.379209999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31566448--0.31561655) × cos(-0.88086318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.636485620531527 × 6371000     		do = 194.358541151436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31566448--0.31561655) × cos(-0.88089369) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.636462088221086 × 6371000     		du = 194.351355277349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88086318)-sin(-0.88089369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636485620531527-0.636462088221086)×R²
    abs(-0.31561655--0.31566448)×2.35323104401663e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35323104401663e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35323104401663e-05×40589641000000     		ar = 37778.5612965975m²