Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58949 / 89299
↖ ↑ ↗
← S 54.500353°
W 18.091736°		 ← 177.36 m → S 54.500353°
W 18.088989°		 →
↑
177.30 m
↓
↑
177.30 m
↓
S 54.501947°
W 18.091736°		 ← 177.35 m →
31 446 m²		 S 54.501947°
W 18.088989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449748992919922 y=0.681301116943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449748992919922 × 217)
    floor (0.449748992919922 × 131072)
    floor (58949.5)     		tx = 58949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681301116943359 × 217)
    floor (0.681301116943359 × 131072)
    floor (89299.5)     		ty = 89299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58949 / 89299 ti = "17/58949/89299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58949/89299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58949 ÷ 217
    58949 ÷ 131072     		x = 0.449745178222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89299 ÷ 217
    89299 ÷ 131072     		y = 0.681297302246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449745178222656 × 2 - 1) × π
    -0.100509643554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.31576036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681297302246094 × 2 - 1) × π
    -0.362594604492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.13912454567139
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31576036} λ = -0.31576036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13912454567139))-π/2
    2×atan(0.320099131356988)-π/2
    2×0.309792865174038-π/2
    0.619585730348076-1.57079632675     		φ = -0.95121060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31576036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.091736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95121060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.500353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58949 KachelY 89299 -0.31576036 -0.95121060 -18.091736 -54.500353
    Oben rechts KachelX + 1 58950 KachelY 89299 -0.31571242 -0.95121060 -18.088989 -54.500353
    Unten links KachelX 58949 KachelY + 1 89300 -0.31576036 -0.95123843 -18.091736 -54.501947
    Unten rechts KachelX + 1 58950 KachelY + 1 89300 -0.31571242 -0.95123843 -18.088989 -54.501947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95121060--0.95123843) × R
    2.78299999999509e-05 × 6371000     		dl = 177.304929999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95121060--0.95123843) × R
    2.78299999999509e-05 × 6371000     		dr = 177.304929999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31576036--0.31571242) × cos(-0.95121060) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.580697942650852 × 6371000     		do = 177.360098850703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31576036--0.31571242) × cos(-0.95123843) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.580675285491588 × 6371000     		du = 177.353178771069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95121060)-sin(-0.95123843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580697942650852-0.580675285491588)×R²
    abs(-0.31571242--0.31576036)×2.26571592640834e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26571592640834e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26571592640834e-05×40589641000000     		ar = 31446.2064314225m²