Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58947 / 89303
↖ ↑ ↗
← S 54.506732°
W 18.097229°		 ← 177.33 m → S 54.506732°
W 18.094482°		 →
↑
177.30 m
↓
↑
177.30 m
↓
S 54.508327°
W 18.097229°		 ← 177.33 m →
31 441 m²		 S 54.508327°
W 18.094482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449733734130859 y=0.681331634521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449733734130859 × 217)
    floor (0.449733734130859 × 131072)
    floor (58947.5)     		tx = 58947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681331634521484 × 217)
    floor (0.681331634521484 × 131072)
    floor (89303.5)     		ty = 89303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58947 / 89303 ti = "17/58947/89303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58947/89303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58947 ÷ 217
    58947 ÷ 131072     		x = 0.449729919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89303 ÷ 217
    89303 ÷ 131072     		y = 0.681327819824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449729919433594 × 2 - 1) × π
    -0.100540161132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.31585623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681327819824219 × 2 - 1) × π
    -0.362655639648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.13931629326987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31585623} λ = -0.31585623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13931629326987))-π/2
    2×atan(0.320037759001464)-π/2
    2×0.30973719580116-π/2
    0.61947439160232-1.57079632675     		φ = -0.95132194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31585623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.097229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95132194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.506732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58947 KachelY 89303 -0.31585623 -0.95132194 -18.097229 -54.506732
    Oben rechts KachelX + 1 58948 KachelY 89303 -0.31580829 -0.95132194 -18.094482 -54.506732
    Unten links KachelX 58947 KachelY + 1 89304 -0.31585623 -0.95134977 -18.097229 -54.508327
    Unten rechts KachelX + 1 58948 KachelY + 1 89304 -0.31580829 -0.95134977 -18.094482 -54.508327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95132194--0.95134977) × R
    2.78299999999509e-05 × 6371000     		dl = 177.304929999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95132194--0.95134977) × R
    2.78299999999509e-05 × 6371000     		dr = 177.304929999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31585623--0.31580829) × cos(-0.95132194) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.580607295031762 × 6371000     		do = 177.332412734563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31585623--0.31580829) × cos(-0.95134977) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.580584636073327 × 6371000     		du = 177.325492105416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95132194)-sin(-0.95134977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580607295031762-0.580584636073327)×R²
    abs(-0.31580829--0.31585623)×2.26589584345627e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26589584345627e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26589584345627e-05×40589641000000     		ar = 31441.2974976888m²