Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58947 / 89133
↖ ↑ ↗
← S 54.234735°
W 18.097229°		 ← 178.51 m → S 54.234735°
W 18.094482°		 →
↑
178.52 m
↓
↑
178.52 m
↓
S 54.236340°
W 18.097229°		 ← 178.50 m →
31 866 m²		 S 54.236340°
W 18.094482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449733734130859 y=0.680034637451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449733734130859 × 217)
    floor (0.449733734130859 × 131072)
    floor (58947.5)     		tx = 58947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680034637451172 × 217)
    floor (0.680034637451172 × 131072)
    floor (89133.5)     		ty = 89133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58947 / 89133 ti = "17/58947/89133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58947/89133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58947 ÷ 217
    58947 ÷ 131072     		x = 0.449729919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89133 ÷ 217
    89133 ÷ 131072     		y = 0.680030822753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449729919433594 × 2 - 1) × π
    -0.100540161132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.31585623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680030822753906 × 2 - 1) × π
    -0.360061645507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.13116702033447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31585623} λ = -0.31585623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13116702033447))-π/2
    2×atan(0.322656489933138)-π/2
    2×0.312110816388628-π/2
    0.624221632777256-1.57079632675     		φ = -0.94657469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31585623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.097229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94657469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.234735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58947 KachelY 89133 -0.31585623 -0.94657469 -18.097229 -54.234735
    Oben rechts KachelX + 1 58948 KachelY 89133 -0.31580829 -0.94657469 -18.094482 -54.234735
    Unten links KachelX 58947 KachelY + 1 89134 -0.31585623 -0.94660271 -18.097229 -54.236340
    Unten rechts KachelX + 1 58948 KachelY + 1 89134 -0.31580829 -0.94660271 -18.094482 -54.236340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94657469--0.94660271) × R
    2.80199999999065e-05 × 6371000     		dl = 178.515419999404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94657469--0.94660271) × R
    2.80199999999065e-05 × 6371000     		dr = 178.515419999404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31585623--0.31580829) × cos(-0.94657469) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.58446587191091 × 6371000     		do = 178.510921433224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31585623--0.31580829) × cos(-0.94660271) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.584443135740933 × 6371000     		du = 178.503977221685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94657469)-sin(-0.94660271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58446587191091-0.584443135740933)×R²
    abs(-0.31580829--0.31585623)×2.27361699765005e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27361699765005e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27361699765005e-05×40589641000000     		ar = 31866.3322918565m²