Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58945 / 86911
↖ ↑ ↗
← S 50.511680°
W 18.102722°		 ← 194.23 m → S 50.511680°
W 18.099976°		 →
↑
194.19 m
↓
↑
194.19 m
↓
S 50.513427°
W 18.102722°		 ← 194.22 m →
37 716 m²		 S 50.513427°
W 18.099976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449718475341797 y=0.663082122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449718475341797 × 217)
    floor (0.449718475341797 × 131072)
    floor (58945.5)     		tx = 58945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663082122802734 × 217)
    floor (0.663082122802734 × 131072)
    floor (86911.5)     		ty = 86911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58945 / 86911 ti = "17/58945/86911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58945/86911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58945 ÷ 217
    58945 ÷ 131072     		x = 0.449714660644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86911 ÷ 217
    86911 ÷ 131072     		y = 0.663078308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449714660644531 × 2 - 1) × π
    -0.100570678710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.31595211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663078308105469 × 2 - 1) × π
    -0.326156616210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.0246512293787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31595211} λ = -0.31595211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0246512293787))-π/2
    2×atan(0.358921624896819)-π/2
    2×0.344600600488766-π/2
    0.689201200977533-1.57079632675     		φ = -0.88159513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31595211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.102722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88159513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.511680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58945 KachelY 86911 -0.31595211 -0.88159513 -18.102722 -50.511680
    Oben rechts KachelX + 1 58946 KachelY 86911 -0.31590417 -0.88159513 -18.099976 -50.511680
    Unten links KachelX 58945 KachelY + 1 86912 -0.31595211 -0.88162561 -18.102722 -50.513427
    Unten rechts KachelX + 1 58946 KachelY + 1 86912 -0.31590417 -0.88162561 -18.099976 -50.513427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88159513--0.88162561) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dl = 194.188079999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88159513--0.88162561) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dr = 194.188079999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31595211--0.31590417) × cos(-0.88159513) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.635920905415883 × 6371000     		do = 194.226613118214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31595211--0.31590417) × cos(-0.88162561) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.635897382051354 × 6371000     		du = 194.219428477195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88159513)-sin(-0.88162561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635920905415883-0.635897382051354)×R²
    abs(-0.31590417--0.31595211)×2.35233645295985e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35233645295985e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35233645295985e-05×40589641000000     		ar = 37715.7955033012m²