Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58944 / 87232
↖ ↑ ↗
← S 51.069017°
W 18.105469°		 ← 191.88 m → S 51.069017°
W 18.102722°		 →
↑
191.89 m
↓
↑
191.89 m
↓
S 51.070743°
W 18.105469°		 ← 191.88 m →
36 821 m²		 S 51.070743°
W 18.102722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449710845947266 y=0.665531158447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449710845947266 × 217)
    floor (0.449710845947266 × 131072)
    floor (58944.5)     		tx = 58944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665531158447266 × 217)
    floor (0.665531158447266 × 131072)
    floor (87232.5)     		ty = 87232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58944 / 87232 ti = "17/58944/87232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58944/87232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58944 ÷ 217
    58944 ÷ 131072     		x = 0.44970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87232 ÷ 217
    87232 ÷ 131072     		y = 0.66552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44970703125 × 2 - 1) × π
    -0.1005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31600004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66552734375 × 2 - 1) × π
    -0.3310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04003897415674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31600004} λ = -0.31600004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04003897415674))-π/2
    2×atan(0.353440906629048)-π/2
    2×0.339736920173826-π/2
    0.679473840347652-1.57079632675     		φ = -0.89132249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31600004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89132249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.069017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58944 KachelY 87232 -0.31600004 -0.89132249 -18.105469 -51.069017
    Oben rechts KachelX + 1 58945 KachelY 87232 -0.31595211 -0.89132249 -18.102722 -51.069017
    Unten links KachelX 58944 KachelY + 1 87233 -0.31600004 -0.89135261 -18.105469 -51.070743
    Unten rechts KachelX + 1 58945 KachelY + 1 87233 -0.31595211 -0.89135261 -18.102722 -51.070743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89132249--0.89135261) × R
    3.01200000000224e-05 × 6371000     		dl = 191.894520000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89132249--0.89135261) × R
    3.01200000000224e-05 × 6371000     		dr = 191.894520000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31600004--0.31595211) × cos(-0.89132249) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.628383806843492 × 6371000     		do = 191.884554876752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31600004--0.31595211) × cos(-0.89135261) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.628360376106276 × 6371000     		du = 191.877400019271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89132249)-sin(-0.89135261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628383806843492-0.628360376106276)×R²
    abs(-0.31595211--0.31600004)×2.34307372165565e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34307372165565e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34307372165565e-05×40589641000000     		ar = 36820.9080673114m²