Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58943 / 87264
↖ ↑ ↗
← S 51.124213°
W 18.108215°		 ← 191.70 m → S 51.124213°
W 18.105469°		 →
↑
191.70 m
↓
↑
191.70 m
↓
S 51.125937°
W 18.108215°		 ← 191.69 m →
36 748 m²		 S 51.125937°
W 18.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449703216552734 y=0.665775299072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449703216552734 × 217)
    floor (0.449703216552734 × 131072)
    floor (58943.5)     		tx = 58943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665775299072266 × 217)
    floor (0.665775299072266 × 131072)
    floor (87264.5)     		ty = 87264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58943 / 87264 ti = "17/58943/87264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58943/87264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58943 ÷ 217
    58943 ÷ 131072     		x = 0.449699401855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87264 ÷ 217
    87264 ÷ 131072     		y = 0.665771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449699401855469 × 2 - 1) × π
    -0.100601196289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.31604798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665771484375 × 2 - 1) × π
    -0.33154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04157295494458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31604798} λ = -0.31604798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04157295494458))-π/2
    2×atan(0.352899150696472)-π/2
    2×0.339255243349706-π/2
    0.678510486699412-1.57079632675     		φ = -0.89228584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31604798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.108215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89228584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.124213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58943 KachelY 87264 -0.31604798 -0.89228584 -18.108215 -51.124213
    Oben rechts KachelX + 1 58944 KachelY 87264 -0.31600004 -0.89228584 -18.105469 -51.124213
    Unten links KachelX 58943 KachelY + 1 87265 -0.31604798 -0.89231593 -18.108215 -51.125937
    Unten rechts KachelX + 1 58944 KachelY + 1 87265 -0.31600004 -0.89231593 -18.105469 -51.125937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89228584--0.89231593) × R
    3.00899999999826e-05 × 6371000     		dl = 191.703389999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89228584--0.89231593) × R
    3.00899999999826e-05 × 6371000     		dr = 191.703389999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31604798--0.31600004) × cos(-0.89228584) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.627634122078673 × 6371000     		do = 191.695616185225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31604798--0.31600004) × cos(-0.89231593) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.627610696475243 × 6371000     		du = 191.688461402963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89228584)-sin(-0.89231593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627634122078673-0.627610696475243)×R²
    abs(-0.31600004--0.31604798)×2.34256034296054e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34256034296054e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34256034296054e-05×40589641000000     		ar = 36748.0136757161m²