Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58942 / 89351
↖ ↑ ↗
← S 54.583205°
W 18.110962°		 ← 177 m → S 54.583205°
W 18.108215°		 →
↑
176.99 m
↓
↑
176.99 m
↓
S 54.584796°
W 18.110962°		 ← 176.99 m →
31 326 m²		 S 54.584796°
W 18.108215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449695587158203 y=0.681697845458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449695587158203 × 217)
    floor (0.449695587158203 × 131072)
    floor (58942.5)     		tx = 58942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681697845458984 × 217)
    floor (0.681697845458984 × 131072)
    floor (89351.5)     		ty = 89351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58942 / 89351 ti = "17/58942/89351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58942/89351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58942 ÷ 217
    58942 ÷ 131072     		x = 0.449691772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89351 ÷ 217
    89351 ÷ 131072     		y = 0.681694030761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449691772460938 × 2 - 1) × π
    -0.100616455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31609592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681694030761719 × 2 - 1) × π
    -0.363388061523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.14161726445164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31609592} λ = -0.31609592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14161726445164))-π/2
    2×atan(0.319302207906391)-π/2
    2×0.309069840979076-π/2
    0.618139681958151-1.57079632675     		φ = -0.95265664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31609592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.110962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95265664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.583205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58942 KachelY 89351 -0.31609592 -0.95265664 -18.110962 -54.583205
    Oben rechts KachelX + 1 58943 KachelY 89351 -0.31604798 -0.95265664 -18.108215 -54.583205
    Unten links KachelX 58942 KachelY + 1 89352 -0.31609592 -0.95268442 -18.110962 -54.584796
    Unten rechts KachelX + 1 58943 KachelY + 1 89352 -0.31604798 -0.95268442 -18.108215 -54.584796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95265664--0.95268442) × R
    2.77799999999218e-05 × 6371000     		dl = 176.986379999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95265664--0.95268442) × R
    2.77799999999218e-05 × 6371000     		dr = 176.986379999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31609592--0.31604798) × cos(-0.95265664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579520087157485 × 6371000     		do = 177.000351464823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31609592--0.31604798) × cos(-0.95268442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579497447401879 × 6371000     		du = 176.993436700714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95265664)-sin(-0.95268442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579520087157485-0.579497447401879)×R²
    abs(-0.31604798--0.31609592)×2.26397556057911e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26397556057911e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26397556057911e-05×40589641000000     		ar = 31326.0395568708m²