Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58941 / 87225
↖ ↑ ↗
← S 51.056934°
W 18.113708°		 ← 191.93 m → S 51.056934°
W 18.110962°		 →
↑
191.96 m
↓
↑
191.96 m
↓
S 51.058660°
W 18.113708°		 ← 191.93 m →
36 843 m²		 S 51.058660°
W 18.110962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449687957763672 y=0.665477752685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449687957763672 × 217)
    floor (0.449687957763672 × 131072)
    floor (58941.5)     		tx = 58941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665477752685547 × 217)
    floor (0.665477752685547 × 131072)
    floor (87225.5)     		ty = 87225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58941 / 87225 ti = "17/58941/87225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58941/87225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58941 ÷ 217
    58941 ÷ 131072     		x = 0.449684143066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87225 ÷ 217
    87225 ÷ 131072     		y = 0.665473937988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449684143066406 × 2 - 1) × π
    -0.100631713867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.31614385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665473937988281 × 2 - 1) × π
    -0.330947875976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.0397034158594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31614385} λ = -0.31614385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0397034158594))-π/2
    2×atan(0.353559526558725)-π/2
    2×0.339842363635116-π/2
    0.679684727270233-1.57079632675     		φ = -0.89111160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31614385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.113708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89111160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.056934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58941 KachelY 87225 -0.31614385 -0.89111160 -18.113708 -51.056934
    Oben rechts KachelX + 1 58942 KachelY 87225 -0.31609592 -0.89111160 -18.110962 -51.056934
    Unten links KachelX 58941 KachelY + 1 87226 -0.31614385 -0.89114173 -18.113708 -51.058660
    Unten rechts KachelX + 1 58942 KachelY + 1 87226 -0.31609592 -0.89114173 -18.110962 -51.058660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89111160--0.89114173) × R
    3.01299999999616e-05 × 6371000     		dl = 191.958229999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89111160--0.89114173) × R
    3.01299999999616e-05 × 6371000     		dr = 191.958229999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31614385--0.31609592) × cos(-0.89111160) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.628547844929157 × 6371000     		do = 191.93464587981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31614385--0.31609592) × cos(-0.89114173) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.628524410405987 × 6371000     		du = 191.927489866243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89111160)-sin(-0.89114173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628547844929157-0.628524410405987)×R²
    abs(-0.31609592--0.31614385)×2.34345231703292e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34345231703292e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34345231703292e-05×40589641000000     		ar = 36842.7480736276m²