Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58941 / 86994
↖ ↑ ↗
← S 50.656426°
W 18.113708°		 ← 193.59 m → S 50.656426°
W 18.110962°		 →
↑
193.61 m
↓
↑
193.61 m
↓
S 50.658167°
W 18.113708°		 ← 193.58 m →
37 481 m²		 S 50.658167°
W 18.110962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449687957763672 y=0.663715362548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449687957763672 × 217)
    floor (0.449687957763672 × 131072)
    floor (58941.5)     		tx = 58941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663715362548828 × 217)
    floor (0.663715362548828 × 131072)
    floor (86994.5)     		ty = 86994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58941 / 86994 ti = "17/58941/86994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58941/86994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58941 ÷ 217
    58941 ÷ 131072     		x = 0.449684143066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86994 ÷ 217
    86994 ÷ 131072     		y = 0.663711547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449684143066406 × 2 - 1) × π
    -0.100631713867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.31614385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663711547851562 × 2 - 1) × π
    -0.327423095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02862999204716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31614385} λ = -0.31614385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02862999204716))-π/2
    2×atan(0.35749639813447)-π/2
    2×0.343337452969655-π/2
    0.686674905939309-1.57079632675     		φ = -0.88412142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31614385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.113708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88412142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.656426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58941 KachelY 86994 -0.31614385 -0.88412142 -18.113708 -50.656426
    Oben rechts KachelX + 1 58942 KachelY 86994 -0.31609592 -0.88412142 -18.110962 -50.656426
    Unten links KachelX 58941 KachelY + 1 86995 -0.31614385 -0.88415181 -18.113708 -50.658167
    Unten rechts KachelX + 1 58942 KachelY + 1 86995 -0.31609592 -0.88415181 -18.110962 -50.658167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88412142--0.88415181) × R
    3.03899999999357e-05 × 6371000     		dl = 193.614689999591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88412142--0.88415181) × R
    3.03899999999357e-05 × 6371000     		dr = 193.614689999591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31614385--0.31609592) × cos(-0.88412142) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.633969203211373 × 6371000     		do = 193.590122850226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31614385--0.31609592) × cos(-0.88415181) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.6339457005601 × 6371000     		du = 193.582946032923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88412142)-sin(-0.88415181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633969203211373-0.6339457005601)×R²
    abs(-0.31609592--0.31614385)×2.35026512729331e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35026512729331e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35026512729331e-05×40589641000000     		ar = 37481.1968570464m²