Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58935 / 87222
↖ ↑ ↗
← S 51.051754°
W 18.130188°		 ← 191.96 m → S 51.051754°
W 18.127442°		 →
↑
192.02 m
↓
↑
192.02 m
↓
S 51.053481°
W 18.130188°		 ← 191.95 m →
36 859 m²		 S 51.053481°
W 18.127442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449642181396484 y=0.665454864501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449642181396484 × 217)
    floor (0.449642181396484 × 131072)
    floor (58935.5)     		tx = 58935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665454864501953 × 217)
    floor (0.665454864501953 × 131072)
    floor (87222.5)     		ty = 87222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58935 / 87222 ti = "17/58935/87222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58935/87222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58935 ÷ 217
    58935 ÷ 131072     		x = 0.449638366699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87222 ÷ 217
    87222 ÷ 131072     		y = 0.665451049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449638366699219 × 2 - 1) × π
    -0.100723266601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.31643147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665451049804688 × 2 - 1) × π
    -0.330902099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03955960516054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31643147} λ = -0.31643147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03955960516054))-π/2
    2×atan(0.353610375857577)-π/2
    2×0.339887562115223-π/2
    0.679775124230445-1.57079632675     		φ = -0.89102120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31643147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.130188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89102120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.051754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58935 KachelY 87222 -0.31643147 -0.89102120 -18.130188 -51.051754
    Oben rechts KachelX + 1 58936 KachelY 87222 -0.31638354 -0.89102120 -18.127442 -51.051754
    Unten links KachelX 58935 KachelY + 1 87223 -0.31643147 -0.89105134 -18.130188 -51.053481
    Unten rechts KachelX + 1 58936 KachelY + 1 87223 -0.31638354 -0.89105134 -18.127442 -51.053481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89102120--0.89105134) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dl = 192.021940000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89102120--0.89105134) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dr = 192.021940000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31643147--0.31638354) × cos(-0.89102120) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.628618152852086 × 6371000     		do = 191.956115249658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31643147--0.31638354) × cos(-0.89105134) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.628594712263658 × 6371000     		du = 191.948957383992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89102120)-sin(-0.89105134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628618152852086-0.628594712263658)×R²
    abs(-0.31638354--0.31643147)×2.34405884285138e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34405884285138e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34405884285138e-05×40589641000000     		ar = 36859.0984143844m²