Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58933 / 89337
↖ ↑ ↗
← S 54.560915°
W 18.135681°		 ← 177.10 m → S 54.560915°
W 18.132934°		 →
↑
177.11 m
↓
↑
177.11 m
↓
S 54.562508°
W 18.135681°		 ← 177.09 m →
31 366 m²		 S 54.562508°
W 18.132934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449626922607422 y=0.681591033935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449626922607422 × 217)
    floor (0.449626922607422 × 131072)
    floor (58933.5)     		tx = 58933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681591033935547 × 217)
    floor (0.681591033935547 × 131072)
    floor (89337.5)     		ty = 89337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58933 / 89337 ti = "17/58933/89337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58933/89337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58933 ÷ 217
    58933 ÷ 131072     		x = 0.449623107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89337 ÷ 217
    89337 ÷ 131072     		y = 0.681587219238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449623107910156 × 2 - 1) × π
    -0.100753784179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.31652735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681587219238281 × 2 - 1) × π
    -0.363174438476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.14094614785696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31652735} λ = -0.31652735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14094614785696))-π/2
    2×atan(0.319516568839379)-π/2
    2×0.309264356935203-π/2
    0.618528713870405-1.57079632675     		φ = -0.95226761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31652735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.135681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95226761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.560915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58933 KachelY 89337 -0.31652735 -0.95226761 -18.135681 -54.560915
    Oben rechts KachelX + 1 58934 KachelY 89337 -0.31647941 -0.95226761 -18.132934 -54.560915
    Unten links KachelX 58933 KachelY + 1 89338 -0.31652735 -0.95229541 -18.135681 -54.562508
    Unten rechts KachelX + 1 58934 KachelY + 1 89338 -0.31647941 -0.95229541 -18.132934 -54.562508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95226761--0.95229541) × R
    2.77999999999112e-05 × 6371000     		dl = 177.113799999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95226761--0.95229541) × R
    2.77999999999112e-05 × 6371000     		dr = 177.113799999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31652735--0.31647941) × cos(-0.95226761) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579837086389218 × 6371000     		do = 177.097171189755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31652735--0.31647941) × cos(-0.95229541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579814436603252 × 6371000     		du = 177.090253362115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95226761)-sin(-0.95229541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579837086389218-0.579814436603252)×R²
    abs(-0.31647941--0.31652735)×2.26497859657782e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26497859657782e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26497859657782e-05×40589641000000     		ar = 31365.7403392779m²