Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58932 / 89340
↖ ↑ ↗
← S 54.565692°
W 18.138428°		 ← 177.08 m → S 54.565692°
W 18.135681°		 →
↑
177.11 m
↓
↑
177.11 m
↓
S 54.567285°
W 18.138428°		 ← 177.07 m →
31 362 m²		 S 54.567285°
W 18.135681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449619293212891 y=0.681613922119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449619293212891 × 217)
    floor (0.449619293212891 × 131072)
    floor (58932.5)     		tx = 58932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681613922119141 × 217)
    floor (0.681613922119141 × 131072)
    floor (89340.5)     		ty = 89340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58932 / 89340 ti = "17/58932/89340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58932/89340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58932 ÷ 217
    58932 ÷ 131072     		x = 0.449615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89340 ÷ 217
    89340 ÷ 131072     		y = 0.681610107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.10076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31657529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681610107421875 × 2 - 1) × π
    -0.36322021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14108995855582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31657529} λ = -0.31657529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14108995855582))-π/2
    2×atan(0.319470622242202)-π/2
    2×0.309222665989567-π/2
    0.618445331979134-1.57079632675     		φ = -0.95235099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31657529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.138428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95235099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.565692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58932 KachelY 89340 -0.31657529 -0.95235099 -18.138428 -54.565692
    Oben rechts KachelX + 1 58933 KachelY 89340 -0.31652735 -0.95235099 -18.135681 -54.565692
    Unten links KachelX 58932 KachelY + 1 89341 -0.31657529 -0.95237879 -18.138428 -54.567285
    Unten rechts KachelX + 1 58933 KachelY + 1 89341 -0.31652735 -0.95237879 -18.135681 -54.567285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95235099--0.95237879) × R
    2.78000000000223e-05 × 6371000     		dl = 177.113800000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95235099--0.95237879) × R
    2.78000000000223e-05 × 6371000     		dr = 177.113800000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31657529--0.31652735) × cos(-0.95235099) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.579769151982642 × 6371000     		do = 177.07642227356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31657529--0.31652735) × cos(-0.95237879) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.57974650085274 × 6371000     		du = 177.069504035448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95235099)-sin(-0.95237879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579769151982642-0.57974650085274)×R²
    abs(-0.31652735--0.31657529)×2.26511299024068e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26511299024068e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26511299024068e-05×40589641000000     		ar = 31362.0653835626m²