Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58930 / 89234
↖ ↑ ↗
← S 54.396550°
W 18.143921°		 ← 177.81 m → S 54.396550°
W 18.141174°		 →
↑
177.81 m
↓
↑
177.81 m
↓
S 54.398149°
W 18.143921°		 ← 177.80 m →
31 617 m²		 S 54.398149°
W 18.141174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449604034423828 y=0.680805206298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449604034423828 × 217)
    floor (0.449604034423828 × 131072)
    floor (58930.5)     		tx = 58930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680805206298828 × 217)
    floor (0.680805206298828 × 131072)
    floor (89234.5)     		ty = 89234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58930 / 89234 ti = "17/58930/89234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58930/89234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58930 ÷ 217
    58930 ÷ 131072     		x = 0.449600219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89234 ÷ 217
    89234 ÷ 131072     		y = 0.680801391601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449600219726562 × 2 - 1) × π
    -0.100799560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31667116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680801391601562 × 2 - 1) × π
    -0.361602783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13600864719609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31667116} λ = -0.31667116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13600864719609))-π/2
    2×atan(0.321098083260465)-π/2
    2×0.310698711050511-π/2
    0.621397422101022-1.57079632675     		φ = -0.94939890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31667116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.143921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94939890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.396550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58930 KachelY 89234 -0.31667116 -0.94939890 -18.143921 -54.396550
    Oben rechts KachelX + 1 58931 KachelY 89234 -0.31662322 -0.94939890 -18.141174 -54.396550
    Unten links KachelX 58930 KachelY + 1 89235 -0.31667116 -0.94942681 -18.143921 -54.398149
    Unten rechts KachelX + 1 58931 KachelY + 1 89235 -0.31662322 -0.94942681 -18.141174 -54.398149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94939890--0.94942681) × R
    2.79099999999088e-05 × 6371000     		dl = 177.814609999419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94939890--0.94942681) × R
    2.79099999999088e-05 × 6371000     		dr = 177.814609999419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31667116--0.31662322) × cos(-0.94939890) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.582171928407152 × 6371000     		do = 177.810292041071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31667116--0.31662322) × cos(-0.94942681) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.582149235516494 × 6371000     		du = 177.803361048149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94939890)-sin(-0.94942681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582171928407152-0.582149235516494)×R²
    abs(-0.31662322--0.31667116)×2.26928906582602e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26928906582602e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26928906582602e-05×40589641000000     		ar = 31616.6515192658m²