Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58925 / 86977
↖ ↑ ↗
← S 50.626815°
W 18.157654°		 ← 193.71 m → S 50.626815°
W 18.154907°		 →
↑
193.74 m
↓
↑
193.74 m
↓
S 50.628558°
W 18.157654°		 ← 193.70 m →
37 530 m²		 S 50.628558°
W 18.154907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449565887451172 y=0.663585662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449565887451172 × 217)
    floor (0.449565887451172 × 131072)
    floor (58925.5)     		tx = 58925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663585662841797 × 217)
    floor (0.663585662841797 × 131072)
    floor (86977.5)     		ty = 86977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58925 / 86977 ti = "17/58925/86977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58925/86977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58925 ÷ 217
    58925 ÷ 131072     		x = 0.449562072753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86977 ÷ 217
    86977 ÷ 131072     		y = 0.663581848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449562072753906 × 2 - 1) × π
    -0.100875854492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.31691084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663581848144531 × 2 - 1) × π
    -0.327163696289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.02781506475362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31691084} λ = -0.31691084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02781506475362))-π/2
    2×atan(0.357787850446745)-π/2
    2×0.343595853778888-π/2
    0.687191707557775-1.57079632675     		φ = -0.88360462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31691084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.157654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88360462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.626815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58925 KachelY 86977 -0.31691084 -0.88360462 -18.157654 -50.626815
    Oben rechts KachelX + 1 58926 KachelY 86977 -0.31686291 -0.88360462 -18.154907 -50.626815
    Unten links KachelX 58925 KachelY + 1 86978 -0.31691084 -0.88363503 -18.157654 -50.628558
    Unten rechts KachelX + 1 58926 KachelY + 1 86978 -0.31686291 -0.88363503 -18.154907 -50.628558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88360462--0.88363503) × R
    3.04100000000362e-05 × 6371000     		dl = 193.742110000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88360462--0.88363503) × R
    3.04100000000362e-05 × 6371000     		dr = 193.742110000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31691084--0.31686291) × cos(-0.88360462) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.634368790098459 × 6371000     		do = 193.712141513228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31691084--0.31686291) × cos(-0.88363503) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.634345281945979 × 6371000     		du = 193.704963016065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88360462)-sin(-0.88363503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634368790098459-0.634345281945979)×R²
    abs(-0.31686291--0.31691084)×2.35081524799785e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35081524799785e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35081524799785e-05×40589641000000     		ar = 37529.5036435989m²